Involution (matematikk)
I matematikk er en involusjon en bijektiv applikasjon som er dens egen gjensidige , det vil si ved hvilket hvert element er bildet av sitt bilde. Dette er tilfelle for eksempel forandring av tegnet i settet med reelle tall , eller symmetriene til planet eller av rommet i euklidisk geometri . I lineær algebra , involutional endomorphisms er også kalt symmetrier.
Involusjoner vises i mange områder av matematikken, spesielt i kombinatorikk og topologi . En involusjon kan også assosieres med et fenomen av dualitet .
Formell definisjon
Vi sier at en applikasjon er ufrivillig (eller at den er en involusjon av E ) hvis for alt . Med andre ord : den sammensatte av f med seg selv er identiteten kart over E .
Eiendommer
Et kart f av E inn i seg selv er en involusjon hvis og bare hvis det er bindende og slik at f −1 = f (bildet og forgjengeren til ethvert element i E sammenfaller).
Den sammensatte g ∘ f av to involutions f og g av E er involutiv hvis og bare hvis f og g pendle , dvs. hvis f ∘ g = g ∘ f .
La f være en involusjon av E :
- hvis g er en sammenheng fra E til F , med gjensidig binding g −1 , så er g ∘ f ∘ g −1 en involusjon av F ;
- hvis g er en kartlegging av E i E som g ∘ f ∘ g = f , og f ∘ g og g ∘ f er involutions av E .
Eksempler
I lineær algebra , hvis K er et felt og E et K -vektorrom:
- de symmetriene av E er endomorphisms devolving fra E .
- spesielt på vektorrommet M n ( K ) av kvadratmatriser av orden n med koeffisienter i K , er transposisjonen en involutiv endomorfisme.
- når E har en begrenset dimensjon n , kan vi knytte til hver endomorfisme av E sin matrise A (element av M n ( K )) på en fast basis ; denne matrisen er den av en symmetri hvis og bare hvis A × A er lik identitetsmatrisen I n .
I algebra er anvendelsen av en gruppe i seg selv som til hvert element x forbinder sin symmetriske x −1 involutiv: ( x −1 ) −1 = x .
I analysen , for alle reelle tall b ℝ 0 og a , er kartene definert på ℝ \ { a } og definert på ℝ involusjoner.
Den komplekse bøyningen er en involusjon av ℂ . Mer generelt :
- på settet med firkantede matriser av orden n med komplekse koeffisienter, er kartet som til en hvilken som helst matrise assosierer dets tillegg , en involusjon.
- på en kvadratisk utvidelse , er applikasjonen som til ethvert element knytter konjugatet , ufrivillig.
I klassisk logikk er negasjonen ufrivillig: "ikke ikke A" tilsvarer "A"; men dette er ikke tilfelle i intuisjonistisk logikk .
En permutasjon er en involusjon hvis og bare hvis den brytes ned i usammenhengende sykluser med lengder mindre enn eller lik 2. Den består således utelukkende av faste punkter og transposisjoner.
Generalisering
Begrepet involusjon kan utvides til å omfatte andre matematiske objekter: Hvis vi betrakter en monoid ( M , ✻, e ), sier vi at et element a av M er en involusjon (for loven ✻) eller er involutiv (i M ) hvis a ✻ a = e .
Vi har da for hvert naturlige tall k : a 2 k = e k = e derfor a 2 k + 1 = e ✻ a = a .
Det nøytrale elementet i en monoid er en involusjon av denne monoiden.
En hyppig sak er en involvering i en ring med hensyn til den andre loven.