Avslapningsmodul
I reologi gjør avslapningsmodulen det mulig å redegjøre for stressavslapping , idet belastningen holdes konstant.
Introduksjon
Den spenning i en tid avhenger i et newtonsk fluid som tøyningshastighet på samme tid:
σ{\ displaystyle \ sigma}
t{\ displaystyle t}![t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
σ(t)=η γ˙(t){\ displaystyle \ sigma (t) = \ eta \ {\ dot {\ gamma}} (t)}![{\ displaystyle \ sigma (t) = \ eta \ {\ dot {\ gamma}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476d4e1b5bbfe55b68c1fcd2a228fbe5d6fa78e3)
.
På den annen side, for en viskoelastisk væske , vil den samme spenningen avhenge av historien til tøyningshastighetene via avslapningsmodulen (eller ):
G(t){\ displaystyle G (t)}
E(t){\ displaystyle E (t)}![Og)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5be62d9f63f5df52e8bc156f950d41e131d99f)
σ(t)=∫-∞tG(t-t′)γ˙(t′)dt′{\ displaystyle \ sigma (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} G (t-t ') {\ dot {\ gamma}} (t') dt '}![{\ displaystyle \ sigma (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} G (t-t ') {\ dot {\ gamma}} (t') dt '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067d88319944d792c82ce57eb78aabb68ab585f3)
.
Fysisk forventer vi at denne funksjonen har en tendens til 0 slik den har en tendens til uendelig; det er hukommelsestapet til de eldste statene.
I rammen av Maxwells modell viser vi at avslapningsmodulen er:
G(t){\ displaystyle G (t)}![G (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d6c09ba5569413364689bf4837c7b71ef0892f)
G(t)=G0 e-t/τ{\ displaystyle G (t) = G_ {0} \ e ^ {- t / \ tau}}![{\ displaystyle G (t) = G_ {0} \ e ^ {- t / \ tau}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3dad3c48fcdae9f942aed8dae2c252f3043fc9)
hvor er avslapningstiden til Maxwell-modellen.
τ=ηE{\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ eta} {E}}}![{\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ eta} {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67fb9dcc8d2d29ef6a8efd3274fa390436de591b)
Vedlegg: komplekse mengder
Kompleks modul
Eksperimentelt påføres sinusformede deformasjoner i DMA . Vi definerer en kompleks deformasjon :
γ(t)=γ0 eJegωt{\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {0} \ e ^ {i \ omega t}}![{\ displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {0} \ e ^ {i \ omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259e49f0d7b1ce49a2b30dc3867fdbca7bd450bb)
som fører til en kompleks begrensning:
σ(t)=Jegωγ(t)∫0∞G(x)exs(-Jegωx)dx=G∗(t)γ(t){\ displaystyle \ sigma (t) = i \ omega \ gamma (t) \ int _ {0} ^ {\ infty} G (x) exp (-i \ omega x) dx = G ^ {*} (t) \ gamma (t)}![{\ displaystyle \ sigma (t) = i \ omega \ gamma (t) \ int _ {0} ^ {\ infty} G (x) exp (-i \ omega x) dx = G ^ {*} (t) \ gamma (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c7f0cc70c33208c67787fe78b7cd36a11b8b64)
med:
x=t-t′{\ displaystyle x = t-t '}![{\ displaystyle x = t-t '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4c9eba0e4eaeb5f779cd1aafc63dc2b060f0e7)
;
G∗{\ displaystyle G ^ {*}}![G ^ {*}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3885f050db0d7715ebeba11a07383eb252b2da6d)
, den komplekse
skjærmodulen . Dette brytes ned som summen av en reell del og en imaginær del:
G∗(ω)=G′(ω)+JegG"(ω){\ displaystyle G ^ {*} (\ omega) = G '(\ omega) + iG' '(\ omega)}![{\ displaystyle G ^ {*} (\ omega) = G '(\ omega) + iG' '(\ omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9d0191a5d7933a96973262b1d8572a2b0e35a6)
eller:
G′{\ displaystyle G '}![G '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76634fad5818a777669a77cd8c86d1d816e4c402)
er bevaringsmodulen ;
G"{\ displaystyle G ''}![{\ displaystyle G ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a37ec377e9bb29c7dd95a844c1b230fbbebea75)
er tapsmodulen .
Den tapsfaktor indikerer muligheten av et viskoelastisk materiale for å spre mekanisk energi til varme. Det er gitt av ligningen:
solbrunδ=G"G′{\ displaystyle \ tan \ delta = {\ frac {G ''} {G '}}}![{\ displaystyle \ tan \ delta = {\ frac {G ''} {G '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188ea0f800b4ba557279b2bad63e9ca71e814b5d)
hvor er fase- eller tapsvinkelen .
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
En lav verdi av tapsfaktoren reflekterer en markert elastisk oppførsel: materialet blir utsatt for en belastning, den energispredning ved indre friksjon er lav.
Kompleks viskositet
Det er også mulig å definere en kompleks viskositet som følger:
σ=η∗(ω) γ˙=(η′(ω)-Jegη"(ω)) γ˙{\ displaystyle \ sigma = \ eta ^ {*} (\ omega) \ {\ dot {\ gamma}} = (\ eta '(\ omega) -i \ eta' '(\ omega)) \ {\ dot { \ gamma}}}![{\ displaystyle \ sigma = \ eta ^ {*} (\ omega) \ {\ dot {\ gamma}} = (\ eta '(\ omega) -i \ eta' '(\ omega)) \ {\ dot { \ gamma}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05da33a4e6f17777382e75fef4418b5fc1016ce)
med:
η′=G"ω{\ displaystyle \ eta '= {\ frac {G' '} {\ omega}}}![{\ displaystyle \ eta '= {\ frac {G' '} {\ omega}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84dc5aaba0ec73100a12b7dc3d14b3b1aa11035)
, assosiert med tapsmodulen,
η"=G′ω{\ displaystyle \ eta '' = {\ frac {G '} {\ omega}}}![{\ displaystyle \ eta '' = {\ frac {G '} {\ omega}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0614ab9369eb00a0eb9e3f045b5135e27be7c757)
, tilknyttet bevaringsmodulen.
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">