Riesz gjennomsnitt

I matematikk er Riesz betyr bestemte midler for begrepene i en serie . De ble introdusert av Marcel Riesz i 1911 som en forbedring i forhold til Cesàros gjennomsnitt . Riesz-gjennomsnittene bør ikke forveksles med Bochner-Riesz (en) og heller ikke med de sterke gjennomsnittene til Riesz.

Definisjon

Riesz-gjennomsnittet av en serie generelle termer er definert av: $s_n$

{\ displaystyle s ^ {\ delta} (\ lambda) = \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ left (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ right) ^ {\ delta} s_ { ikke}}

og dets generaliserte Riesz-middel er definert av:

{\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (\ lambda _ {k} - \ lambda _ {k-1 }) ^ {\ delta} s_ {k},}

hvor er en vilkårlig sekvens slik at og når . ${\ displaystyle (\ lambda _ {n}) ~}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} \ to \ infty}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n + 1} / \ lambda _ {n} \ til 1}$ $n \ til \ infty$

Riesz-midler brukes ofte til å utforske summen av serier; de vanlige summabilitetssetningene behandler saken om . Vanligvis er en serie summerbar når grensen eksisterer, eller grensen eksisterer, men de nøyaktige summabilitetsteoriene det er snakk om, stiller ofte ytterligere betingelser. ${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} s_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} R_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 1, \ lambda \ to \ infty} s ^ {\ delta} (\ lambda)}$

Spesielle tilfeller

Enten hva som helst . Så ${\ displaystyle s_ {n} = 1}$ $ikke$

{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ left (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ right) ^ {\ delta} = {\ frac {1} {2 \ pi i} } \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} \ zeta (s) \ lambda ^ {s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {\ lambda} {1+ \ delta}} + \ sum _ {n} b_ {n} \ lambda ^ {- n}. }

Her må vi ta ; er gamma-funksjonen og er Riemann zeta-funksjonen . Vi kan vise at maktserien konvergerer for . Legg merke til at integralet er i form av en invers Mellin- transformasjon. $c> 1$ $\ Gamma$ $\ zeta$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n} \ lambda ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ lambda> 1}$

En annen interessant sak relatert til tallteori oppstår ved å ta hvor er von Mangoldt-funksjonen . Så ${\ displaystyle s_ {n} = \ Lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (n)}$

{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq \ lambda} \ left (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ right) ^ {\ delta} \ Lambda (n) = - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} \ lambda ^ {s} ~ \ mathrm {d} s = {\ frac {\ lambda} {1 + \ delta}} + \ sum _ {\ rho} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (\ rho)} {\ Gamma (1+ \ delta + \ rho)}} + \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}.}

Igjen, vi må ta . Summen over er summen over nullene til Riemann zeta-funksjonen, og konvergerer for . $c> 1$ $\ rho$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ lambda> 1}$

Integralene som vises her ligner på Nörlund-Rice-integralen ; veldig grovt kan de relateres til denne integralen med Perrons formel .

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Riesz mean " ( se listen over forfattere ) .

M. Riesz, " En summeringsmetode som tilsvarer metoden for aritmetiske midler ", i CRAS , vol. 152, 1911, s. 1651-1654
(i) GH Hardy og JE Littlewood , " Bidrag til teorien om Riemann Zeta-funksjon og teorien om fordelingen av bonuser ," Acta , vol. 41, 1916, s. 119-196