Kva-aritmetisk middel

I matematikk og statistikk er gjennomsnittet nesten aritmetisk , gjennomsnitt av Kolmogorov eller f generalisert -moyennes , en generalisering av gjennomsnitt sier generalisert (i seg selv en generalisering av middels standard: aritmetikk , geometri ,  etc. ). De parametriseres av en funksjon f .

Definisjon

La være en funksjon av et intervall i reelle tall , kontinuerlig og injiserende . f{\ displaystyle f}Jeg⊂R{\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}

Den -mean av tall er definert som , som også kan skrives f{\ displaystyle f}ikke{\ displaystyle n} x1,...,xikke∈Jeg{\ displaystyle x_ {1}, \ prikker, x_ {n} \ i I}Mf(x1,...,xikke)=f-1(f(x1)+⋯+f(xikke)ikke){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ { n})} {n}} \ høyre)}

Mf(x→)=f-1(1ikke∑k=1ikkef(xk)){\ displaystyle M_ {f} ({\ vec {x}}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ( x_ {k}) \ høyre)}

Det er nødvendig at det er injiserende for at det inverse skal defineres. Som definert over et intervall, tilhører definisjonsdomenet til . f{\ displaystyle f}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}f{\ displaystyle f}f(x1)+⋯+f(xikke)ikke{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ {n})} {n}}}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}

Som det er injiserende og kontinuerlig, er det derfor strengt ensformig , hvorfra det følger at -midlet alltid er mellom minimum og maksimum av tallene i argumentet: f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

min(x1,...,xikke)≤Mf(x1,...,xikke)≤maks(x1,...,xikke){\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ leq M_ {f} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ leq \ max (x_ {1}, \ punkter, x_ {n})}

Eksempler

(I de følgende eksemplene, eller ) Jeg=R{\ displaystyle I = \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}

• For , så tilsvarer -mean det aritmetiske gjennomsnittet uansett og (se skalaen invariansegenskap infra ).f(x)=på⋅x+b{\ displaystyle f (x) = a \ cdot x + b}f{\ displaystyle f}på≠0{\ displaystyle a \ neq 0}b{\ displaystyle b}
• For , så tilsvarer -mean det geometriske gjennomsnittet uansett logaritmens basis, siden det er positivt og forskjellig fra 1.f(x)=ln⁡(x){\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}f{\ displaystyle f}
• For , så tilsvarer -middelet det harmoniske gjennomsnittet .f(x)=1x{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}f{\ displaystyle f}
• For , så tilsvarer -mean det generaliserte gjennomsnittet av eksponent .f(x)=xs{\ displaystyle f (x) = x ^ {p}}f{\ displaystyle f}s{\ displaystyle p}
• For så -gjennomsnittlig er gjennomsnittet i den logaritmiske halv-ring (i) , som er en forskjøvet versjon av en konstant for Softmax funksjon : . Det tilsvarer en divisjon med .f(x)=eksp⁡(x){\ displaystyle f (x) = \ exp (x)}f{\ displaystyle f} Mf(x1,...,xikke)=softmpåx(x1,...,xikke)-ln⁡(ikke){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {softmax} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) - \ ln (n)}-ln⁡(ikke){\ displaystyle - \ ln (n)}ikke{\ displaystyle n}

Eiendommer

Følgende egenskaper gjelder for alle funksjoner som tilfredsstiller definisjonen ovenfor: f{\ displaystyle f}

Symmetri: Verdien av er uforanderlig ved permutasjon av argumentene. Mf{\ displaystyle M_ {f}}

Fast punkt . ∀x∈Jeg,Mf(x,...,x)=x{\ displaystyle \ forall x \ i I, M_ {f} (x, \ prikker, x) = x}

Monotonisitet: er monotont i hvert av argumentene (siden er monotont). Mf{\ displaystyle M_ {f}}f{\ displaystyle f}

Kontinuitet: er kontinuerlig i hvert av argumentene (siden er kontinuerlig). Mf{\ displaystyle M_ {f}}f{\ displaystyle f}

Substitusjon: Ethvert delsett av argumenter kan erstattes med -Gjennomsnitt gjentatte ganger uten å endre resultatet av -Gjennomsnitt. Hvis vi skriver ned har vi: k{\ displaystyle k}f{\ displaystyle f}k{\ displaystyle k}f{\ displaystyle f}m=Mf(x1,...,xk){\ displaystyle m = M_ {f} (x_ {1}, \ prikker, x_ {k})}

Mf(x1,...,xk,xk+1,...,xikke)=Mf(m,...,m⏟k tid,xk+1,...,xikke){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ prikker, x_ {k}, x_ {k + 1}, \ prikker, x_ {n}) = M_ {f} (\ underligger {m, \ prikker, m} _ {k {\ text {times}}}, x_ {k + 1}, \ prikker, x_ {n})}

Partisjonering  : Beregningen av-midlet kan deles inn i flere beregninger av undergrupper av samme størrelse: f{\ displaystyle f}

Mf(x1,...,xikke⋅k)=Mf(Mf(x1,...,xk),Mf(xk+1,...,x2⋅k),...,Mf(x(ikke-1)⋅k+1,...,xikke⋅k)){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ prikker, x_ {n \ cdot k}) = M_ {f} (M_ {f} (x_ {1}, \ prikker, x_ {k}), M_ {f} (x_ {k + 1}, \ prikker, x_ {2 \ cdot k}), \ prikker, M_ {f} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ prikker, x_ {n \ cdot k}))}

Selvfordeling: For ethvert Kolmogorov-middel av to argumenter har vi: M{\ displaystyle M}

M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z)){\ displaystyle M (x, M (y, z)) = M (M (x, y), M (x, z))}.

Medialitet: For alle Kolmogorov-gjennomsnitt av to argumenter har vi: M{\ displaystyle M}

M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w)){\ displaystyle M (M (x, y), M (z, w)) = M (M (x, z), M (y, w))}.

Balansering: For alle Kolmogorov-gjennomsnitt av to argumenter har vi: M{\ displaystyle M}

M(M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)))=M(x,y){\ displaystyle M \ left (M (x, M (x, y)), M (y, M (x, y)) \ right) = M (x, y)}.

Sentral grense setning  : Under regelmessighetsforhold og for et tilstrekkelig stort utvalgfølger omtrent en normalfordeling . ikke{Mf(X1,...,Xikke)-f-1(Mf(X1,...,Xikke))}{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ {M_ {f} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) - f ^ {- 1} (M_ {f} (X_ {1}, \ dots , X_ {n})) \}}

Skala invarians: Kolmogorov-middelet er invariant ved oversettelse og utvidelse av funksjonen : f{\ displaystyle f}

∀på, ∀b≠0,((∀t, g(t)=på+b⋅f(t))⇒∀x; Mf(x)=Mg(x){\ displaystyle \ forall a, \ \ forall b \ neq 0, ((\ forall t, \ g (t) = a + b \ cdot f (t)) \ Rightarrow \ forall x; \ M_ {f} (x ) = M_ {g} (x)}.

Karakterisering

Det er flere sett med egenskaper som karakteriserer Kolmogorov-gjennomsnittet (det vil si for enhver funksjon som tilfredsstiller disse egenskapene, det er en funksjon slik at . M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}f{\ displaystyle f}M=Mf{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = M_ {f}}

• Den mediality er i det vesentlige tilstrekkelig til å karakterisere en gjennomsnittlig Kolmogorov.
• Den selv distributivity er i det vesentlige tilstrekkelig til å karakterisere en Kolmogorov middelverdi.
• Kolmogorov demonstrerte at de fem egenskapene til symmetri, fast punkt, monotonisitet, kontinuitet og substitusjon fullt ut karakteriserer et- middel.f{\ displaystyle f}
• Balansering : Et interessant spørsmål er om denne egenskapen kan erstatte substitusjon i Kolmogorov-settet, det vil si om de fem egenskapene symmetri, fast punkt, monotonisitet, kontinuitet og balansering er tilstrekkelig til å karakterisere et gjennomsnitt av Kolmogorov. Georg Aumann  (i) demonstrerte i 1930 at svaret generelt er nei, men bare legg til antagelsen om at enten analytisk for at det skal være tilfelle.M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}

Homogenitet

De gjennomsnitt er vanligvis homogene , men for nesten alle funksjoner , det er ikke -gjennomsnittlig. Faktisk er de eneste homogene Kolmogorov-midlene generaliserte midler. Se Hardy - Littlewood - Pólya, side 68. f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

Homogenitetsegenskapen kan imidlertid oppnås ved å normalisere argumentene med et (homogent) middel . VS{\ displaystyle C}

Mf,VSx=VSx⋅f-1(f(x1VSx)+⋯+f(xikkeVSx)ikke){\ displaystyle M_ {f, C} x = Cx \ cdot f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f \ left ({\ frac {x_ {1}} {Cx}} \ right) + \ cdots + f \ left ({\ frac {x_ {n}} {Cx}} \ høyre)} {n}} \ høyre)}

Imidlertid kan denne modifikasjonen bryte egenskapene til monotonisitet og partisjonering.

Referanser

• (fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Quasi-arithmetic mean  " ( se listen over forfattere ) .

1. Miguel de Carvalho , “  Mener, hva mener du?  ”, The American Statististician , vol.  70, n o  3,2016, s.  764‒776 ( DOI  10.1080 / 00031305.2016.1148632 , les online )
2. Aczél, J.; Dhombres, JG , funksjonelle ligninger i flere variabler. Med applikasjoner til matematikk, informasjonsteori og til natur- og samfunnsvitenskap. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. , Cambridge, Cambridge Univ. Trykk,1989
3. Anton Grudkin , "  Karakterisering av kvasi-aritmetisk middel  " , på Math stackexchange ,2019
4. Georg Aumann , "  Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften  ", Journal für die Reine und angewandte Mathematik , vol.  1937 n o  176,1937, s.  49–55 ( DOI  10.1515 / crll.1937.176.49 )
5. Georg Aumann , "  Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte  ", Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften ,1934, s.  45–81

Se også

Bibliografi

• Andrey Kolmogorov (1930) "On the Notion of Mean", i "Mathematics and Mechanics" (Kluwer 1991) - s. 144–146.
• Andrey Kolmogorov (1930) På grunnlag av gjennomsnittet. Atti Accad. Naz. Lincei 12, s. 388–391.
• John Bibby (1974) "Axiomatiseringer av gjennomsnittet og en ytterligere generalisering av monotone sekvenser," Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, s. 63–65.
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952) Ulikheter. 2. utg. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

Relaterte artikler

• Generelt gjennomsnitt
• Jensen ulikhet

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">