Eulers nummer

De Euler tallene E n danne en serie av naturlige tall definert ved den følgende Taylor-ekspansjon serie :

{\ frac {1} {\ cos x}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} E_ {n} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}

De kalles også noen ganger sekantnummer eller sikksakknummer.

Første Euler-tall

De ulike indeks Euler tallene er alle null. De med en jevn indeks ( A000364 fra OEIS ) er strengt positive. De første verdiene er:

E_ {0} =

E_ {2} =

E_ {4} =

E_ {6} =

E_ {8} =

1.385

E _ {{10}} =

50 521

E _ {{12}} =

2 702 765

E _ {{14}} =

199 360 981

E _ {{16}} =

19 391 512 145

E _ {{18}} =

2 404 879 675 441

Euler-tallene vises i Taylor-utvidelsen av secant-funksjonen (som er funksjonen i definisjonen):

{\ frac {1} {\ cos x}} = 1 + E_ {2} {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + E_ {4} {\ frac {x ^ {4}} { 4!}} + E_ {6} {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ Dots

og i den alternative versjonen av serien i den hyperbolske sekantfunksjonen :

{\ frac {1} {\ cosh x}} = 1-E_ {2} {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + E_ {4} {\ frac {x ^ {4}} { 4!}} - E_ {6} {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ Dots

De vises også i kombinatorikk som antall sikksakk-konfigurasjoner med jevn størrelse. En sikksakk-konfigurasjon av størrelse n er en liste over n reelle tall $z 1 , ..., z n$ slik at

z_ {1}> z_ {2} <z_ {3}> z_ {4} \ prikker

To konfigurasjoner betraktes som de samme hvis de relative posisjonene til alle tallene z er de samme.

De Euler polynomer er konstruert med Euler tall fra denne genererende funksjon .

Eksplisitte formler

Stevning

En eksplisitt formel for Euler-tall er :

{\ displaystyle E_ {2n} = (- 1) ^ {n} \ mathrm {i} \ sum _ {k = 1} ^ {2n + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {k} {k \ velg j} {\ frac {(-1) ^ {j} (k-2j) ^ {2n + 1}} {2 ^ {k} \ mathrm {i} ^ {k} k}}}

der $i$ er et komplekst tall slik at $i 2 = -1$ .

Summer på poengene

Antallet E 2 n uttrykkes som en sum over de jevne partisjonene på 2 n :

E _ {{2n}} = (- 1) ^ {n} (2n)! \ Sum _ {{0 \ leq k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ leq n}} ~ \ left ({ \ begin {array} {c} K \\ k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ end {array}} \ right) \ delta _ {{n, \ sum mk_ {m}}} \ left ( {\ frac {-1 ~} {2!}} \ høyre) ^ {{k_ {1}}} \ venstre ({\ frac {-1 ~} {4!}} \ høyre) ^ {{k_ {2 }}} \ cdots \ left ({\ frac {-1 ~} {(2n)!}} \ right) ^ {{k_ {n}}},

og også som en sum over de odde partisjonene på 2 n - 1:

E _ {{2n}} = - (2n-1)! \ Sum _ {{0 \ leq k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ leq 2n-1}} \ left ({\ begin {array } {c} K \\ k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ end {array}} \ right) \ delta _ {{2n-1, \ sum (2m-1) k_ {m}}} \ venstre ({\ frac {-1 ~} {1!}} \ høyre) ^ {{k_ {1}}} \ venstre ({\ frac {1} {3!}} \ høyre) ^ {{k_ { 2}}} \ cdots \ left ({\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n-1)!}} \ Right) ^ {{k_ {n}}},

hvor, i begge tilfeller, og $K = k_ {1} + \ cdots + k_ {n}$

\ left ({\ begin {array} {c} K \\ k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ end {array}} \ right) \ equiv {\ frac {K!} {k_ {1} ! \ cdots k_ {n}!}}

er en multinomial koeffisient . Den Kronecker delta- notasjon i disse formlene begrenser summen til k jeg slik at og , respektivt. $2k_ {1} + 4k_ {2} + \ cdots + 2nk_ {n} = 2n$ $k_ {1} + 3k_ {2} + \ cdots + (2n-1) k_ {n} = 2n-1$

For eksempel,

{\ begin {align} E _ {{10}} & = - 10! \ left (- {\ frac {1} {10!}} + {\ frac {2} {2! 8!}} + {\ frac {2} {4! 6!}} - {\ frac {3} {2! ^ {2} 6!}} - {\ frac {3} {2! 4! ^ {2}}} + {\ frac {4} {2! ^ {3} 4!}} - {\ frac {1} {2! ^ {5}}} \ høyre) \\ & = - 9! \ Venstre (- {\ frac {1 } {9!}} + {\ Frac {3} {1! ^ {2} 7!}} + {\ Frac {6} {1! 3! 5!}} + {\ Frac {1} {3! ^ {3}}} - {\ frac {5} {1! ^ {4} 5!}} - {\ frac {10} {1! ^ {3} 3! ^ {2}}} + {\ frac {7} {1! ^ {6} 3!}} - {\ frac {1} {1! ^ {9}}} \ høyre) \\ & = 50 \, 521. \ Slutt {justert}}

Med en determinant

E 2 n er også gitt av determinanten :

{\ begin {align} E _ {{2n}} & = (2n)! ~ {\ begin {vmatrix} {\ frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ & ~ \\ {\ frac {1} {4!}} & {\ Frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ \\\ vdots & ~ & \ ddots ~~ & \ ddots ~~ & ~ \\ {\ frac { 1} {(2n -2)!}} & {\ Frac {1} {(2n-4)!}} & ~ & {\ Frac {1} {2!}} & 1 \\ {\ frac {1 } {(2n)!}} & {\ Frac {1} {(2n-2)!}} & \ Cdots & {\ frac {1} {4!}} & {\ Frac {1} {2!} } \ end {vmatrix}}. \ end {justert}}

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Euler number " ( se listen over forfattere ) .

Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Ordbok for matematikk , Paris, Puf ,1993, 955 s. ( ISBN 2-13-045491-7 ) , s. 318. Noen forfattere bruker utvidelsen av 1 / cosh ( x ), som koeffisientene har vekslende tegn på.
(in) David C. Vella , " Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers " , Integers , vol. 8, n o 1,2008, A1 ( les online ).
(in) (in) Jerome Malenfant " Finite, Closed-form expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers " versjon v62011.