Vink på en vibrerende streng

Et fusjonsforslag er i gang mellom vibrerende wire og Wave på en vibrerende wire .

Meningene om dette forslaget er samlet i en del av Wikipedia: Sider som skal slås sammen . Store endringer som er gjort i artikler i mellomtiden, bør kommenteres på samme side.

Du har nettopp festet {{to flette}} malen , følg disse trinnene:

1.	Fest banneret på de andre sidene som skal slås sammen : vibrerende ledning	Bruk denne teksten: {{à fusionner \|corde vibrante \|Onde sur une corde vibrante}}
2.	Viktig : legg til en del i Pages for å slå sammen , med begrunnelse for forslaget ditt.	Slik oppretter du seksjonen: Opprett seksjonen på siden for å slå sammen
3.	Husk å varsle hovedbidragsyterne til siden og tilknyttede prosjekter når det er mulig.	Bruk denne teksten: {{subst:Avertissement fusion \|corde vibrante \|Onde sur une corde vibrante}}

Fest banneret på de andre sidene som skal slås sammen :

vibrerende ledning

Bruk denne teksten: {{à fusionner |corde vibrante |Onde sur une corde vibrante}}

Viktig : legg til en del i Pages for å slå sammen , med begrunnelse for forslaget ditt.

Slik oppretter du seksjonen:

Opprett seksjonen på siden for å slå sammen

Husk å varsle hovedbidragsyterne til siden og tilknyttede prosjekter når det er mulig.

Bruk denne teksten: {{subst:Avertissement fusion |corde vibrante |Onde sur une corde vibrante}}

Den vibrerende ledningen er den fysiske modellen som brukes til å representere de oscillerende bevegelsene til en strukket ledning. Det vil her antas at den holdes i de to endene, noe som ikke alltid er tilfelle (i for eksempel pendler eller loddlinjer er bunnenden fri).

Ved å bli holdt i de to endene reflekteres vibrasjonene i hver ende, så det er et stående bølgefenomen .

Denne modellen gjør det mulig å forstå lydene som sendes ut av strengeinstrumenter , men også bevegelsene som kan forstyrre mekaniske strukturer som kabler , kabler og stropper .

Denne enkle modellen er også en god introduksjon til lignende, men mer komplekse fenomener, for eksempel lydrør , platevibrasjonsfenomener, etc.

Fenomenologisk tilnærming

Beskrivelse av en vibrerende ledning

Tenk på et tau som holdes i de to endene. I den enkleste vibrasjonsmåten, kalt "grunnleggende", danner den en bue for hvert øyeblikk, og pilen til denne buen varierer periodisk (krumningen øker, deretter avtar, deretter reverserer, og øker deretter på den andre måten ...).

Vi kan derfor definere en vibrasjonsfrekvens $f$ , og vi merker at denne frekvensen avhenger av strengens lineære tetthet (bemerket $μ$ ); den kraft med hvilken dette tauet er strukket (spenning bemerkes $T$ ); og ledningens lengde (betegnet $L$ ).

Hvis vi ser etter innflytelsen til hver parameter, kvalitativt:

jo lettere strengen ( $μ$ er svak), jo høyere frekvens (dette er grunnen til at de høye strengene til et instrument er tynnere);
jo mer strengen strekkes, desto høyere er vibrasjonsfrekvensen (sett fra et akustisk synspunkt stiger tonen når strengen strekkes);
jo lenger strengen er, desto lavere er frekvensen (og derfor er lyden mer alvorlig for et instrument).

Dimensjonal ligning

Vær forsiktig i denne artikkelen å ikke forveksle $ν$ , frekvensen som er angitt med den greske bokstaven nu, og bølgeutbredelseshastigheten, noen ganger også angitt av . $v$ $vs.$

De fire fysiske størrelsene som er identifisert som griper inn i fenomenet vibrerende ledning har henholdsvis dimensjon:

$ν$ ( frekvens ) i s −1 ;
$μ$ ( lineær tetthet ) i kg ⋅ m −1 ;
T ( mekanisk spenning ) i kg ⋅ m ⋅ s −2 ;
L ( lengde ) i m .

I følge Vaschy-Buckingham-teoremet , da disse fire fysiske variablene som er involvert i loven om fenomenet, avhenger av tre grunnleggende størrelser, er det mulig å konstruere en ekvivalent ligning som involverer en dimensjonsløs variabel konstruert fra de opprinnelige variablene. Vi ser raskt at en slik variabel, representert her av den greske bokstaven kappa, er:

{\ displaystyle \ kappa _ {1} = {T \ over \ mu \ cdot L ^ {2} \ cdot \ nu ^ {2}} \ qquad}

enten på tilsvarende måte:

{\ displaystyle \ quad \ nu = {\ kappa _ {2} \ over L} {\ sqrt {T \ over \ mu}}}

Merk at uttrykket har dimensjonene til en hastighet: det er hastigheten på forplantningen av sjokket langs tauet. Vibrasjonsfrekvensen til strengen er derfor proporsjonal med forplantningshastigheten langs strengen, og omvendt proporsjonal med lengden. ${\ displaystyle {\ sqrt {T \ over \ mu}}}$ $v$

{\ displaystyle \ quad \ nu = \ kappa _ {2} {v \ over L}}

Den konstante betegnelsen $κ 2$ er her en dimensjonsløs konstant som ikke kan bestemmes av dimensjonsanalyse alene. Den mer detaljerte analysen nedenfor viser at fenomenet faktisk innrømmer en hel familie av egenvibrasjoner, av typen $K 2 = n / 2$ hvor $n$ er et helt tall. Den grunnleggende frekvensen er derfor den som $κ 2 = 1/2 for$ .

Tuning av et strengeinstrument

På et instrument har hver streng en annen lineær tetthet, og spenningen justeres for å stille inn . For å spille spiller vi på strengens valg, og når instrumentet har en hals, på lengden på strengen ved å plukke strengen mot halsen med fingeren.

Når det gjelder lengden: frekvensen varierer som omvendt av lengden. Således, hvis vi deler lengden med to, multipliserer vi frekvensen med to, det vil si at vi går opp en oktav . Vi merker at den tolvte båndet til en gitar er midt i strengen (siden en oktav er tolv halvtoner i herdet skala ).

Men en streng kan vibrere på andre måter: hvis endene forblir faste, kan formen den tar ha to, tre… $n$ buer fra hode til hale. Vi snakker om "vibrasjonsmodus". Hvis vi er i $n-$ modus , har vi derfor $n$ buer, og hver lysbue har lengden $L / n$ . Den vibrerer derfor med en frekvens $n$ ganger høyere enn grunnleggende. Slik kan en streng avgi lyder fra flere forskjellige tonehøyder.

Faktisk er den virkelige vibrasjonen en lineær kombinasjon av de forskjellige modusene; vi snakker om "harmoniske". Amplituden til de forskjellige harmoniene er et kjennetegn ved instrumentet, og bestemmer tonen (dens " klang ").

Det er ikke bare vibrasjonen i strengen som betyr noe, men det til hele instrumentet, spesielt resonanskammeret .

Bølgeligning for et strukket tau

Alt som følger antar at lydstrengen er stiv og har null diameter, noe som aldri blir verifisert nøye. For presentasjon av effektene av stivhet, se: Pianoets inharmonisitet .

Akkorden som i utgangspunktet er i ro, opptar et segment langs $x-$ aksen . Den strekkes med en spenning $T$ (kraft) påført i begge ender. Vi vrir tauet i $y-$ retning og slipper taket. La oss kalle $y ( x , t )$ forskyvningen av akkorden ved abscissen $x$ og i øyeblikket $t$ . Legg merke til vinkelen til tangenten til akkordet og aksen $Okse$ ved punktet av abscissa $x$ . $\ alfa$

Skriv Newtons ligning (Newtons lover ) for en del av en akkordlood med segmentet $[ x , x + d x ]$ . I endene av segmentet har vi kreftene og modulen $T$ og motsatte retninger som virker tangentielt. ${\ vec {F_ {1}}}$ ${\ vec {F_ {2}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {1}}} = - T (\ cos \ alpha (x, t) {\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ sin \ alpha (x, t) {\ overrightarrow { e_ {y}}}) = - T \ cos \ alpha (x, t) ({\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ tan \ alpha (x, t) {\ overrightarrow {e_ {y}}} )}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {2}}} = T (\ cos \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) {\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ sin \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) {\ overrightarrow {e_ {y}}}) = T \ cos \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) ({\ overrightarrow {e_ {x}}} + \ tan \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) {\ overrightarrow {e_ {y}}})}

Tøyningen antas å være liten, slik at vinkelen $α$ alltid er liten. I så fall :

{\ displaystyle \ cos \ alpha (x, t) \ simeq 1}

{\ displaystyle \ cos \ alpha (x + \ mathrm {d} x, t) \ simeq 1}

Vet det

{\ displaystyle \ tan (\ alpha) = {\ partial y \ over \ partial x} (x, t)}

Uttrykket av og blir: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {2}}}}$

\ overrightarrow {F_ {1}} = - T \ left (\ overrightarrow {e_ {x}} + {\ partial y \ over \ partial x} (x, t) \ overrightarrow {e_ {y}} \ right)

\ overrightarrow {F_ {2}} = + T \ venstre (\ overrightarrow {e_ {x}} + {\ partial y \ over \ partial x} (x + {\ mathrm d} x, t) \ overrightarrow {e_ { y}} \ høyre)

Fra hvor :

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Delta F}} = {\ overrightarrow {F_ {2}}} + {\ overrightarrow {F_ {1}}} = T \ venstre ({\ partial y \ over \ partial x} ( x + \ mathrm {d} x, t) - {\ partial y \ over \ partial x} (x, t) \ right) {\ overrightarrow {e_ {y}}}}

Ved Taylor teorem begrenset til en st orden ( $d x$ antas meget liten) oppnådd:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Delta F}} = T \ venstre ({\ partial y \ over \ partial x} (x + \ mathrm {d} x, t) - {\ partial y \ over \ partial x} (x, t) \ right) \ mathrm {\ cdot} {\ overrightarrow {e_ {y}}} = T {\ partial ^ {2} y \ over \ partial x ^ {2}} (x, t) \ mathrm {d} x \ cdot {\ overrightarrow {e_ {y}}}}

Hvis vi kaller $μ$ den lineære tetthet av strengen, er massen av en liten strengelement $μ d x$ og den treghetskraft av denne strengelement i forskyvningsretningen, det vil si vinkelrett på strengen, er: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {i}}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {i}}} = \ mu {\ partial ^ {2} y \ over \ partial t ^ {2}} (x, t) \ mathrm {d} x \ cdot {\ overrightarrow {e_ {y}}}}

Vi bruker det grunnleggende prinsippet om dynamikk ved å balansere treghetskraften og gjenopprettingskraften (forsømmelse av tyngdekraften ):

{\ displaystyle \ mu {\ partial ^ {2} y \ over \ partial t ^ {2}} (x, t) = T {\ partial ^ {2} y \ over \ partial x ^ {2}} (x , t)}

Hvis vi setter , er $v$ forplantningshastigheten til forstyrrelsen langs akkorden. Den ligningen d'Alembert blir deretter skrevet ${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ tfrac {T} {\ mu}}}}$

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} y \ over \ partial t ^ {2}} = {v ^ {2}} {\ partial ^ {2} y \ over \ partial x ^ {2}}}

Eller:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial t ^ {2}}} = 0}

Denne ligningen er historisk. Det er en av de aller første delvise differensialligningene . Den ble presentert av d'Alembert i 1747 til Royal Academy of Sciences i Berlin. Det er en bølgeligning som, utvidet til de tre dimensjonene i rommet, vil bli brukt på forplantning av lyd og deretter til forplantning av elektromagnetiske bølger .

Betydningen av $v$ som forplantningshastigheten til en stamme

Anta at akkorden er uendelig. I dette tilfellet er en mulig løsning av bølge ligningen: hvor $f$ er en vilkårlig funksjon av en variabel som er $x - vt$ . $y (x, t) = f (x-vt)$

Merk: er også en akseptabel løsning, men tilsvarer en bølge som forplanter seg i retning av den negative $x$ . $y (x, t) = f (x + vt)$

Ligningen er faktisk tilfreds for alle $f$ . Spesielt hvis vi setter $t = 0$ , har vi den første deformasjonen av akkorden:

f (x) = y (x, 0)

På tidspunktet $t 1$ finner vi den samme formen, men flyttet til $vt 1$ .

Deformasjonen forplantes fra $vt 1 i$ løpet av tiden $t 1$ , med en hastighet $v$ , uten å gjennomgå deformasjon.

Hvis vi på tidspunktet $t = 0$ har å gjøre med en belastning av sinusformet type:

f (x) = A \ cos \ venstre (2 \ pi {x \ over \ lambda} \ høyre)

hvor $λ$ er bølgelengden, finner vi i hvert øyeblikk:

y (x, t) = A \ cos \ venstre (2 \ pi {x-vt \ over \ lambda} \ høyre)

som vi kan omskrive i form:

{\ displaystyle y (x, t) = A \ cos (kx- \ omega t) = \ Re \ left [A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (kx- \ omega t)} \ right] }

hvor er bølgetallet og er pulsen. $k = {\ tfrac {2 \ pi} {\ lambda}}$ $\ omega = {2 \ pi \ nu}$

Frekvensen er gitt direkte med hastigheten av og . $\ nu = {\ tfrac v \ lambda}$ $\ omega = kv$

Eigen moduser for vibrasjon av en streng

La oss se etter en løsning av bølge ligningen som er harmonisk i tid, ved å posere

y (x, t) = u (x) \ cos \ omega t = \ Re [u (x) e ^ {{- i \ omega t}}]

Vi finner således som en ligning:

v ^ {2} {{\ mathrm d} ^ {2} u \ over {\ mathrm d} x ^ {2}} = - \ omega ^ {2} u (x)

fra hvor

{{\ mathrm d} ^ {2} u \ over {\ mathrm d} x ^ {2}} + k ^ {2} u (x) = 0

med . Den generelle løsningen på ovenstående ligning er: ${\ displaystyle k = {\ frac {\ omega} {v}}}$

u (x) = A \ cos kx + B \ sin kx

der $A$ og $B$ er to integrasjonskonstanter. Hvis akkorden har lengden $L$ og er festet i de to endene ( $x = 0$ og $x = L$ ), må vi stille som grensebetingelser $u (0) = u ( L ) = 0$ . Den første betingelsen pålegger at $A = 0$ og den andre gir $B sin ( kL ) = 0$ .

Bortsett fra den trivielle løsningen $B = 0$ (som innebærer $u = 0$ , som ikke er av interesse), oppfylles også denne tilstanden hvis $kL = n π$ . Vi finner dermed en familie av løsninger:

u_ {n} (x) = B_ {n} \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ høyre)

Hvorfor pulse $ω = nπ v / L$ .

De tilsvarende frekvensene er $ν = n v ⁄ 2 L$ , dvs. multiplum av en grunnleggende frekvens v ⁄ 2 L (omvendt av tiden for en rundtur langs akkorden). For presentasjonen av virkningene av stivhet, som øker de naturlige frekvensene desto større ettersom antallet av den naturlige modusen er høyere, se: Inharmonicity of the piano .

Det eksisterer således en uendelig mengde rene vibrasjonsmåter, beskrevet av:

y (x, t) = B_ {n} \ sin \ venstre (n \ pi {x \ over L} \ høyre) \ cos \ venstre (n \ pi {vt \ over L} \ høyre)

Amplitudene $B- n$ er vilkårlige.

Den generelle løsningen på bølgeligningen kan skrives i form av en overstilling av alle egenmodusene:

y (x, t) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} B_ {n} \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ høyre) \ cos \ left ( n \ pi {vt \ over L} \ høyre)

Spesielt på tidspunktet $t = 0$

y (x, 0) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} B_ {n} \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ right)

Hvis vi gir oss den opprinnelige formen til akkorden, dvs. hvis vi antar som funksjonen $f ( x ) = y ( x , 0)$ , representerer $B n$ koeffisientene til en Fourier-serie i sinus av $f ( x )$ :

B_ {n} = {2 \ over L} \ int _ {{0}} ^ {{L}} f (x) \ sin \ left (n \ pi {x \ over L} \ right) {\ mathrm d } x

Merknader og referanser

Guillaume Jouve, Beredskaper og feller av vibrerende strenger ved d'Alembert (1755-1783). Tvil og sikkerhet om partielle differensialligninger, serier og funksjoner. , Lyon, avhandling Claude Bernard University - Lyon I,4. mai 2009, 167 s. ( les online ) , s. 79-107
Mr d'Alembert, " Forskning på kurven dannet av en stram snor plassert i vibrasjon ", History of the Royal Academy of Berlin , 1747 publisert i 1749, s. 214-249 ( les online )

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

Java-applet som simulerer vibrasjonen til en streng