Samtidig ortogonalisering

Gauss metode konstruerer et ortogonalt grunnlag for en gitt kvadratisk form på et reelt vektorrom med endelig dimensjon . Teoremet viser eksistensen av en ortogonal basis samtidig for to kvadratiske former, hvorav den ene er avledet fra et punktprodukt.

Samtidig ortogonalisering i euklidisk tilfelle

Teorem - La E være et euklidisk rom . Hvis q er en kvadratisk form over E , eksisterer det et ortonormalt grunnlag for prikkproduktet og ortogonal for q .

Bevis - Betegner det skalære produktetog den tilhørende euklidiske normen ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ langle x \ cdot y \ rangle \,}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | x \ | ^ {2}.}$

Ettersom E er av endelig dimensjon , er enhetskule er kompakt i henhold til Borel-Lebesgue teorem . Funksjonen er kontinuerlig på $S$ . Den økes derfor der og når denne grensen på et bestemt tidspunkt $e$ . ${\ displaystyle S = \ {x \ i E \ mid \ | x \ | = 1 \}}$ ${\ displaystyle f: x \ mapsto q (x) / \ | x \ | ^ {2}}$
Hvis $ϕ$ er den polære formen som er assosiert med $q$ , har vi: ${\ displaystyle q (e + x) -q (e) = 2 \ phi (e, x) + q (x).}$ Differensialen til $q$ ved $e$ er da den lineære delen av begrepet til høyre: ${\ displaystyle Dq_ {e} (x) = 2 \ phi (e, x).}$
Siden $e$ er et ekstremum for $f$ , er differansen av $f$ i $e$ nødvendigvis null, det vil si ${\ displaystyle 0 = Df_ {e} (x) = {\ frac {2 \ phi (e, x) \ | e \ | ^ {2} -2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle} {\ | e \ | ^ {4}}}}$ eller ${\ displaystyle 2 \ phi (e, x) = 2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle}$ så trene for alt ${\ displaystyle \ langle e \ cdot x \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle 2 \ phi (e, x) = 0}$ ${\ displaystyle x \ i E.}$
Det fullfører induksjonsbevis på hulromdimensjonen E . I dimensjon 1 er det åpenbart. Anta at egenskapen er sann i dimensjon n - 1. Linjen rettet av e er i direkte sum ortogonal med sin ortogonale:E=⟨e⟩⨁⊥⟨e⟩⊥{\ displaystyle E = \ langle e \ rangle {\ overset {\ perp} {\ bigoplus}} \ langle e \ rangle ^ {\ perp}} ${\ displaystyle E = \ langle e \ rangle {\ overset {\ perp} {\ bigoplus}} \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}$ fordi prikkeproduktet er en symmetrisk positiv bestemt form. Induksjonshypotesen gir grunnlag for ortonormal for skalarproduktet, ortogonal for ϕ . Etter bygging: (u2,...,uikke){\ displaystyle (u_ {2}, ..., u_ {n})} ${\ displaystyle (u_ {2}, ..., u_ {n})}$ ⟨e⟩⊥{\ displaystyle \ langle e \ rangle ^ {\ perp}} ${\ displaystyle \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}$
- ${\ displaystyle \ langle e \ cdot u_ {i} \ rangle = 0}$ og derfor også for ${\ displaystyle \ phi (e, u_ {i}) = 0}$ ${\ displaystyle i = 2, \ ldots, n}$
- ${\ displaystyle \ | e \ | = 1.}$