I teknisk tegning og arkitektur er et parallelt perspektiv eller sylindrisk perspektiv eller aksonometrisk perspektiv en form for todimensjonal representasjon av tredimensjonale objekter som tar sikte på å opprettholde inntrykket av volum eller lettelse. Også kalt hurtigperspektiv eller kunstig perspektiv, er det forskjellig fra konisk perspektiv og representerer ikke det øyet faktisk ser: spesielt forblir paralleller representert av paralleller, og avstander reduseres ikke av avstand. Vi kan betrakte det som et konisk eller sentralt perspektiv hvis sentrum ville blitt sendt til uendelig, det vil si langt fra det observerte objektet.
En parallell perspektivtegning er resultatet av å projisere på et plan parallelt med en gitt retning.
Blant de mest klassiske parallelle perspektivene kan man sitere kavalierperspektivet og den ortogonale aksonometrien (assosiert med en ortogonal projeksjon ). Begrepet aksonometri eller aksonometrisk perspektiv (av aksonakse og metrisk måling) betegner ifølge forfatterne, enten et uspesifisert parallelt perspektiv eller et ortogonalt perspektiv.
Tre linjer (Ox, Oy, Oz) ortogonale og gradert på samme måte definerer et ortonormalt koordinatsystem for rommet. Det parallelle perspektivet blir da helt bestemt av
Et punkt M i koordinatrommet (x, y, z) vil da bli representert med punktet m oppnådd ved å bevege seg suksessivt fra punkt o og følge retningene [ox '), [oy') og [oz ') respektive avstander x × k x , y × k y og z × k z .
Denne typen tegninger er spesielt enkle å oppnå, enten for hånd eller datamaskin ( datagrafikk , datastyrt tegning , 3D-bildesyntese ). Det gir et inntrykk av lettelse mens proporsjonene opprettholdes i en gitt retning. Derfor er det et nyttig verktøy innen arkitektur og teknisk tegning.
Valget av retningene til de tre aksene, samt faktorene som skal operere på lengden på de tre aksene, overlates til designernes frie vilje. Blant de svært forskjellige praksisene knyttet til et dårlig stabilisert ordforråd, er det imidlertid visse privilegerte perspektiver.
En parallell perspektivtegning er resultatet av en projeksjon på et plan (P) i hvilken som helst retning (d). Et ortonormalt koordinatsystem (O, U, V, W) projiserer inn i (o, u, v, w), og definerer dermed tre akser av planet (eller), (ov), (ow) gradert i henhold til lengdene eller, ov, ow. Et punkt M i koordinatrommet (x, y, z) projiseres deretter inn i planet i henhold til punktet m på planet som verifiserer vektorens likhet
For å finne posisjonen til M, vel vitende om m, er det nødvendig å kjenne tilleggsdata, for eksempel bildet av projeksjonen av punkt M på planet (OUV).
Omvendt, Karl Pohlke (de) har vist at fire unaligned punkter (o, u, v, w) til et plan som kan betraktes, en homotetisk transformasjon som den projiserte fire punkter (O, U, V, W) to ortonormale referanser symmetrisk til hverandre med hensyn til planet (P). Dette gjør det derfor mulig å konstruere et parallelt perspektiv ved å velge fire punkter (o, u, v, w) eller tre akser som er ulikt gradert, antatt å representere romets referansepunkt.
Det er et parallelt perspektiv der projeksjonsretningen (d) ikke er vinkelrett på planet (P). Denne typen perspektiv har en tendens til å miste proporsjonene mellom gjenstandene som er representert, og Aubert fraråder dem i sammenheng med arkitekttegninger. Spesielt projiseres en kule i skrå projeksjon etter en ellips.
Blant de skrå aksonometrene er det imidlertid to perspektiver som ofte brukes der projeksjonen utføres på et plan parallelt med et grunnplan. Figurene plassert i plan parallelt med dette basisplanet blir deretter representert i sanne størrelser, uten deformasjon.
Disse perspektivene der to av tre akser er gradert, kalles dimetriske perspektiver.
Ortogonal aksonometri eller høyre aksonometri er et parallelt perspektiv der retningen til projeksjonen (d) er vinkelrett på planet (P). Det gjør det mulig å respektere proporsjonene mer. Spesielt er sfæren representert der av en sirkel. Vi kan fortsatt velge vilkårlig retningen til de tre aksene (eller), (ov) og (ow). Vi velger generelt å representere den vertikale aksen (ow) og spesifiserer deretter vinklene , og . Men når retningene blir valgt, blir graderingene på de tre aksene pålagt og bestemmes enten ved beregning eller geometrisk konstruksjon.
Valget av vinkler og overlates til skjønnet til designeren som søker å oppnå det beste resultatet for tegningen. Når to vinkler er like, er skalaene på to akser identiske, vi snakker da om dimetri. Når de tre vinklene er like, er skalaen på de tre aksene identisk, vi snakker om isometri eller isometrisk perspektiv . Når perspektivet tar sikte på å redegjøre for et tak, som favoriserer en lavvinkelsikt, snakker vi om takaksonometri.
Blant dimetriene tilbyr de med vinkler 97 ° , 131,5 ° og 131,5 ° fordelen ved å gi reduksjonskoeffisienter proporsjonalt med 1,1, 1/2. Det isometriske perspektivet, hvis implementering er enda enklere, gir fordelen av å respektere proporsjonene, men har den irriterende effekten av å forvirre visse hjørner i enhetskuben.
Håndtegnet, til og med raskt perspektiv krever grundighet og omtenksomhet. Dette er grunnen til at det i lang tid bare brukes svært faste typer parallelt perspektiv. Utviklingen av databehandling og datastøttet tegning gir større variasjon i synsvinkler og gjør perspektivtegning raskere å utføre.
Så snart objektet som skal representeres blir sett fra en betydelig vinkel eller dybde, presenterer det koniske perspektivet en høyere realisme.
Faktisk, når et aksonometrisk perspektiv brukes, resulterer avstanden fra observatøren bare i en oversettelse i planet, og det er ingen reduksjon i størrelsen på objektene med avstanden.
Følgelig vil aksonometri bare kunne gi en ganske trofast representasjon:
Parallelt perspektiv brukes empirisk før reglene for konisk perspektiv blir satt på plass. Vi kan se eksempler på det i visse dekorasjoner av greske vaser, i notatbøkene til Villard de Honnecourt ., Eller i malerier av Ambrogio Lorenzetti.
I øst brukte kinesiske og japanske malerier omfattende aksonometri. Denne teknikken gjør det mulig å kontinuerlig representere påfølgende hendelser og rapportere dem på ruller, litt som den måten som brukes i Vesten til Bayeux-tapetet.
Det tillater også representasjon av ekstremt store scener.
I arkitekturen kompletterer det parallelle perspektivet utsiktene utviklet av Monge, som er forfra og ovenfra av beskrivende geometri. I lang tid ble bare geometriske visninger brukt, det koniske perspektivet, som viser bygningen i omgivelsene, var ganske reservert for kunst og maling. Trofast mot det øyet ser, gjorde det koniske perspektivet det ikke mulig å tydelig indikere forholdet mellom de forskjellige dimensjonene, avgjørende for en arkitekt; den brukes imidlertid av store navn som Ledoux , Lequeu eller Viollet-le-Duc .
De første forestillinger i perspektiv vises parallelt med XVI th århundre i skriftene til Androuet Hoop , som bygger empiriske perspektiver ridestier. Den venetianske Giovanni Battista Belluzzi uttrykker i Nuova invente di fabricar fortezze di varie forme publisert i 1598, interessen for aksonometri for kunsten å militære konstruksjoner "fordi vi har behov for å se det hele, distinkt og klart" og Jacques Perret de Chambéry bruker det i sine tekniske tegninger og spesifiserer at de forskjellige dimensjonene deretter kan tas med et kompass, sistnevnte ved hjelp av militære perspektiver.
I XIX th århundre , var det først og fremst i utlandet som utvikler en alvorlig studie av axonometry med verk av William Farish , England, Julius Weisbach og Karl Pohlke (av) Tyskland. Aksonometri forsvares i Frankrike av Jules Maillard de La Gournerie . Men det er Auguste Choisy som på slutten av XIX th århundre gir ham anerkjennelse i sine bøker Kunsten å bygge ... eller The Art of building ... .
I Frankrike i begynnelsen av XX th århundre , axonometry er lite brukt i skolen av arkitektur. Å gjøre en rask aksonometri innebærer ofte å heve vertikaler på et allerede sporet plan og dermed konstruere et militært perspektiv. Det var i Tyskland representasjon i aksonometri fikk status som kunst i seg selv, med Bauhaus- bevegelsen , så vel som blant kunstnere fra De Stijl-bevegelsen , som Theo van Doesburg . Aksonometri forsvares av maleren-arkitekten Lazar Lissitzky , i en berømt artikkel K und Pangeometrie . Den brukes av Giuseppe Terragni , le Corbusier og Gabriel Guevrekian . Fra 1970-tallet ble det anerkjent som et komplementært syn på samme måte som fotografering eller konisk perspektiv.
De geometriske egenskapene til parallelle perspektiver, bevaring av parallellisme, bevaring av proporsjoner i en fast retning, gjør det til et interessant verktøy i teknisk tegning, både i matematikk for å illustrere en konfigurasjon i rommet og i det industrielle feltet for å beskrive egenskapene til ett stykke. Allerede i XI th århundre , Kina, som finnes i en avhandling om arkitektur, den Ying Tsao Fa Shih montasjetegninger i perspektiv. Bruken av den vedvarte selv når det koniske perspektivet ga muligheten for mer realistisk representasjon. For å realisere deres matematiske diagram eller maskinplanen deres, er det det parallelle perspektivet som Leonardo da Vinci og Luca Pacioli velger , begge er imidlertid mestre av det koniske perspektivet. Vanskeligheten med å få brikkene til å bli representert for hånd begrenset perspektivet til noen få spesifikke typer: perspektivperspektiv med en vinkel på 45 ° eller 60 ° , reduksjonskoeffisient på 0,5 eller 0,7, eller et isometrisk perspektiv. Men dataverktøyet generaliserer og letter bruken fra nå av.
Som med alle projeksjoner og alle perspektiver muliggjør tap av informasjonen i den tredje dimensjonen visse tolkningsfeil, feil som vårt syn blir bedre advart mot, takket være kikkertvisjonen, og muligheten vi har. Å flytte øynene og hodet.
Det sylindriske perspektivet er bedre egnet enn konikken for representasjon av perspektivillusjoner, siden det i tillegg til å være en projeksjon, ignorerer effekten av perspektivisk forkorting. Dette har blitt brukt til å lage umulige gjenstander , særlig av O. Reutersvärd og MC Escher .
Tenk på et direkte ortonormalt koordinatsystem , hvor vektorene henholdsvis definerer x- , y- og z- aksene .
Disse tre aksene er representert av tre akser av tegningsplanet, av enhetsdirektørvektorer , og slik som:
Hvis vi kjenner koordinatene ( x , y , z ) til et punkt i rommet, vil plasseringen av dette punktet på projeksjonsplanet oppnås ganske enkelt ved å utsette koordinatene på de projiserte aksene som påvirkes av koeffisientene k 1 , k 2 og k 3 .
Den ortogonale projeksjonen er en matematisk operasjon. I tilfellet som interesserer oss, er det et spørsmål om å projisere et rompunkt på et plan, vinkelrett på dette planet.
For eksempel er skyggen skapt av solen , når den er loddrett til hvor vi er, en ortogonal projeksjon av objektet.
Ortogonale projeksjoner er lineære kart , noe som blant annet betyr at to proporsjonale vektorer forblir proporsjonale når de er projisert; dette er derfor aksonometriske perspektiver.
Hvis projiseringen bare kan styres i datagrafikk, er det generelt ikke å bestemme retningen til de projiserte aksene og proporsjonalitetskoeffisientene for den manuelle plottet. Faktisk bruker vi ofte dimetriske perspektiver der to av koeffisientene er like.
Vi kan beskrive projeksjonsplanet ved rotasjoner som transformerer et gitt plan, for eksempel planet (O xz ). Hvis vi pålegger oss at projeksjonen av resten vertikal, så ser vi at projeksjonsplanet kan oppnås ved to rotasjoner, for eksempel:
Du kan også fortsette i "omvendt rekkefølge":
Det er denne andre måten å gjøre ting på som vi skal beholde. Merk at vi oppnår samme resultat ved å vurdere at projeksjonsplanet forblir fast, men at det er koordinatsystemet som roterer (med motsatte vinkler). Tenk på at projeksjonsplanet er (O xz ). Hvis man driver en rotasjon rundt (O z ) med en vinkel ω, transformeres basisvektorene til:
Hvis vi deretter bruker en rotasjon av vinkelen α rundt den opprinnelige aksen O x (som faktisk er sporet av (O xy ) på projeksjonsplanet), så at vi lager projeksjonen på planet, ser vi at det er den direkte ortonormale koordinaten projeksjonsplanets system (transformert av rotasjonene hvis det er det roterende planet, eller originalen hvis det er det roterende koordinatsystemet):
Akseprojeksjonene er derfor gitt av følgende vektorer, hvis norm er overføringskoeffisienten:
Vinklene på de projiserte aksene og i forhold til den horisontale kan beregnes ved hjelp av trigonometri, for eksempel:
vinklene er her ikke orientert.
Hvis x , y og z er koordinatene til et punkt i rommet i koordinatsystemet , og x “ og y” koordinatene til prosjektet i koordinatsystemet , kan man definere matrisen P for projeksjonen slik som
(se artikkelen Matrix produkt ), med
og
For eksempel, for ω = 30 ° og α = 20 °, har vi:
La oss velge k 1 = k 2 ; fremspringene til x- og y- aksene er symmetriske i forhold til vertikalen. Denne situasjonen er et spesielt tilfelle av den ortogonale projeksjonen med ω = 45 °; vi har cos ω = sin ω = √2 / 2, eller
Projeksjonsplanet kretser rundt den andre delelinjen i planet (O xy ), dvs. rundt vektoren .
Vi har
og
For eksempel, for α = 45 °, har vi
og for α = -10 ° har vi
Isometrisk perspektiv er det spesielle tilfellet der de tre forholdene er like. Dette er en ortogonal projeksjon.
Vi har :
k 1 = k 3er
bruker det faktum at cos²α + sin²α = 1, får vi
og derfor også enten
Det er derfor en dimetrisk ortogonal projeksjon (ω = 45 °), som vi har α ≈ 35,26 ° og k 1 = k 2 = k 3 ≈ 0,82.
og
er
x " ≈ 0,71 ( x - y ) y " ≈ -0,41 ( x + y ) + 0,82 zVi ser at dersom vi kjenner koordinatene X_3D, Y_3Dog Z_3Dav punkt i rommet, dets koordinater på skjermen X_2Dog Y_2D, vurderer en ortogonal projeksjon, vil være på formen:
X_2D = X_2D_0 + facteur*( A1*X_3D + A2*Y_3D ) Y_2D = Y_2D_0 + facteur*( B2*(A2*X_3D - A1*Y_3D) + B1*Z_3D )hvor X_2D_0og Y_2D_0er konstanter som tillater å "sentrere" bildet, og facteurer en skala konstant. Konstanter A1, A2, B1og B2karakterisere retningen av aksene og andelen av rapporter om disse akser; de kan defineres av:
A1 = cos(omega) A2 = sin(omega) B1 = cos(alpha) B2 = sin(alpha)omegaog å alphavære konstanter (sammenlignet med den forrige studien, har tegnet for synd ω endret seg, noe som tilsvarer en endring i vinkelenes tegn, derfor til referansen for rotasjonsretningen). Vi kan også definere dem uten forhold til vinklene, på en “empirisk” måte (for eksempel justert ved prøving og feiling for å oppnå et “behagelig” resultat), som mellom -1 og 1 og bekrefter:
A1^2 + A2^2 = 1 B1^2 + B2^2 = 1vi kan altså bare definere to parametere, A1og B1, og beregne:
A2 = sqrt(1 - A1^2) eller A2 = - sqrt(1 - A1^2) B2 = sqrt(1 - B1^2) eller B2 = - sqrt(1 - B1^2)