Den oppdrift er den styrke særlig realiseres ved et legeme plassert helt eller delvis i et fluid ( væske eller gass ) og underkastes et felt av tyngdekraften . Denne kraften kommer fra økningen i væsketrykket med dybden eller høyden (tyngdekraftseffekten på væsken, se den hydrostatiske artikkelen ): trykket er større på den nedre delen av en nedsenket gjenstand enn på dens øvre del, resultatet er et generelt vertikalt trykk oppover. Det er ut fra dette som vi definerer kroppens oppdrift . Dette presset ble først studert av Archimedes .
“Ethvert legeme nedsenket i en væske i hvile, helt fuktet av den eller krysser den frie overflaten, gjennomgår en vertikal kraft, rettet fra bunnen til toppen og lik (og motsatt) til vekten av volumet av fortrengt væske. Denne styrken kalles Archimedes 'skyvekraft . Det gjelder massesenteret til den fortrengte væsken, kalt sentrum for skyvet . "
For at setningen skal gjelde, må den nedsenkede væsken og den nedsenket kroppen være i ro. Det må også være mulig å erstatte det nedsenket legemet med nedsenkende væske uten å bryte balansen, moteksemplet er proppen til et badekar fylt med vann: hvis dette erstattes av vann, er det klart at karet tømmes og at væske er ikke lenger i ro. Teoremet gjelder ikke siden vi er i et tilfelle der pluggen ikke er helt fuktet av væsken og ikke passerer gjennom den frie overflaten.
Når de tidligere forholdene er respektert, i et jevnt tyngdefelt , er den arkimediske skyvekraften, bemerket , gitt av formelen:
P→PÅ=-mfg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} eller:I det spesielle tilfellet hvor tettheten ρ av væsken også er jevn, har vi:
P→PÅ=-ρVg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} eller:Hvis vi vurderer intensitetene ( normene ) til kreftene , har vi ved å merke P A og g normene til de tilknyttede vektorene:
Intensiteten P A av den arkimediske fremstøt er uttrykt i N , tettheten ρ i kg m -3 , volumet av fortrengt fluid V i m 3 og tyngdens akselerasjon g i m s -2 .
Vurder en væske i hvile. Vi avgrenser, ved tanke, et visst volum av enhver form i denne væsken. Dette volumet er også i ro: til tross for vekten faller ikke dette volumet. Dette betyr derfor at vekten kompenseres strengt av en motsatt kraft som holder den på plass og som kommer fra den ytre væsken. Vi erstatter nå, alltid med tanke, dette volumet med ethvert legeme. Siden kraften som holdt væsken i likevekt er en trykkraft som virker på overflaten av volumet, er det mulig å anta at den samme kraften fremdeles gjelder den nedsenket kroppen: den er alltid motsatt vekten av fortrengt væske. Det er Archimedes press. Det faktum at kraftfeltene er identiske for den homogene væsken i hvile og for kroppen nedsenket i væsken i hvile, kalles "størkningsteorem".
Anta at en kube av kant a er fullstendig nedsenket i en væske, og dens toppflate er horisontal og ligger på en dybde z 1 > 0 (den positive retningen er nede). Vi vil betegne enhetsvektoren rettet langs aksen til økende z (derfor orientert nedover).
Når det gjelder en ukomprimerbar væske i hvile som er utsatt for et jevnt tyngdefelt , er det absolutte trykket p på dybden z verdt:
eller:Vi betrakter en væskesøyle, som ligner et høyre fortau med variabel høyde z og hvis basisareal er konstant og er lik A. På en dybde z tilsvarer det hydrostatiske trykket normen P for vekten , delt på basen A av væskesøylen: p ( z ) = P / A .
Uttrykket av vekten av væskekolonnen er imidlertid:
eller:Vi oppnår derfor, ved hjelp av formelen p ( z ) = P / A:
.Det absolutte presset er derfor
.Ved symmetri avbryter trykkreftene på de fire sideflatene på kuben hverandre to og to.
Kraften som utøves av væsken på overflaten (av område A = a 2 ) til kuben, er rettet fra topp til bunn og er verdt:
.Kraften rettet fra bunnen opp, utøvd av væsken på underflaten (av område A = a 2 ) av kuben, som ligger på dybden z 2 = z 1 + a , er verdt:
.Resultatet av trykkreftene er derfor verdt:
eller:Den resulterende kraften er derfor ganske lik det motsatte av vekten av volumet av fortrengt væske. Denne kraften er negativ, den er godt orientert vertikalt fra bunn til topp.
Det er mulig å generalisere den forrige demonstrasjonen til et volum av hvilken som helst form. Det er tilstrekkelig å spalte overflaten som grenser til volumet til en uendelig uendelig liten del d S antas å være plan, for deretter å legge til, ved hjelp av en beregning av integraler , av alle uendelige dimensjoner som utøves på hvert overflateelement .
Man kan utlede setningen til Archimedes fra gradienten : la oss anta et uspesifisert volum V , avgrenset av en lukket overflate S , helt nedsenket i en væske med tetthet ρ utsatt for et tyngdefelt , ikke nødvendigvis ensartet.
Per definisjon av trykket p er resultatet av trykkreftene som utøves på volumet:
eller:Ved gradientteoremet da den grunnleggende loven for hydrostatikk , blir dette uttrykket:
som er det motsatte av vekten av volumet av fortrengt væske.
La oss fullstendig senke et fast stoff av volum V , masse m og tetthet ρ i en væske med jevn tetthet ρ f , og deretter frigjøre det fra hvile. Ved starten, idet hastigheten er null, bare to krefter som virker på det faste stoff: dens vekt F p (nedover) og den arkimediske skyvekraft F et (oppover).
F p = ρ V g F a = ρ f V g F p / F a = ρ / ρ fI dette tilfellet tilsvarer tetthetsforholdet tetthetene :
I de to tilfellene hvor det faste stoffet ikke er i likevekt, bestemmes dets etterfølgende bevegelse av tre krefter: dens vekt, det arkimediske trykk (motsatt vekten) og en viskøs friksjonskraft F f (motsatt hastigheten).
I følge Newtons andre bevegelseslov har vi da:
F p - F a ± F f = m a (den positive retningen er nede)hvor a er akselerasjonen til det faste stoffet.
Da den viskøse friksjonskraften ikke er konstant, men øker med hastighet, reduseres akselerasjonen gradvis, slik at det faste stoffet mer eller mindre raskt når en begrensende hastighet, når den resulterende av kreftene er null.
Betrakt et fast volum V og tetthet ρ S flyter på overflaten av en væske tetthet ρ L . Hvis det faste stoffet flyter, er det fordi vekten er balansert av Archimedes 'drivkraft:
F a = F p .Archimedes-skyvekraften er lik (i absolutt verdi) til vekten av volumet av fortrengt væske (lik volumet V i nedsenket), vi kan skrive:
ρ L V i g = ρ S V g - (1).Det nedsenkede volumet er derfor verdt:
V i = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Siden V > V i , følger det at ρ S < ρ L .
Søknad til saken om et isfjellVurder et stykke ren is ved 0 ° C som flyter i sjøvann . La ρ S = 0,917 g / cm 3 og ρ L = 1,025 g / cm 3 (vi ville ha ρ L = 1.000 g / cm 3 for rent vann ved 3,98 ° C ). Rapportenρ Sρ L(det vil si den relative tettheten ) er lik 0,895, slik at det nedsenkede volumet V i representerer nesten 90% av det totale volumet V av isfjellet.
En isbit som smelter i et glassDet er lett å verifisere at smelting av et stykke ren is som flyter på rent vann skjer uten endring i vannstanden. Volumet av nedsenket is tilsvarer faktisk volumet med flytende vann som er nødvendig for å tilsvare vekten av isbiter ( likning 1). Ved smelting produserer isterningen (ved bevaring av massen) nøyaktig dette volumet av vann, som "plugger hullet som er igjen etter at den faste isen forsvinner". Vannstanden forblir den samme. I figuren motsatt er volumet avgrenset med stiplede linjer, i venstre glass volumet av nedsenket is, og, i høyre glass, volumet av flytende vann produsert ved smelting av isterningen.
Vi kan også gjøre følgende beregning: Hvis vi for eksempel vurderer en isbit på 1 cm 3 og tetthet 0,917 g cm −3 (som derfor inneholder 0,917 g vann), er det nedsenkede volumet 0,917 cm 3 ( likning 2 ) (som et isfjell, det meste er under vann). Når isterningen har smeltet, vil denne 0,917 g vann, som nå vil ha en tetthet på 1 g · cm −3, oppta nøyaktig volumet opptatt av den nedsenkete delen av isbiten.
Alt skjer som om Archimedes-skyvet påføres skroget , det vil si tyngdepunktet for volumet av fortrengt væske.
Denne egenskapen er viktig for beregningen av stabiliteten til en ubåt under vann eller en aerostat : under straff for å se at disse maskinene snur, er det nødvendig at skrogsenteret deres ligger over tyngdepunktet.
Når det gjelder skip, derimot, ligger skroget midt under tyngdepunktet for å unngå overdreven rettende øyeblikk. Imidlertid når fartøyets helling endres ( rulles ), beveger sentrum av skroget seg lateralt mer enn tyngdepunktet, noe som genererer dreiemoment som har en tendens til å returnere fartøyet til sin opprinnelige tilt. Stabilitet sikres deretter av posisjonen til metasentret, som er anvendelsespunktet for variasjonene i skyvekraften. Dette metacenteret må være over tyngdepunktet.
Anekdotisk kan vi merke at ubåtdesignere samtidig må sørge for to typer balanse for maskinene sine: balanse i dykking og balanse på overflaten.
Den Treatise on flytende legemer , hvor Arkimedes fastsetter lovene fluidstatikk - og vilkårene for likevekt av faste legemer nedsenket i eller flytende på en væske - er sannsynligvis den mest kjente av Arkimedes verker, fordi alle huske på anekdote rapportert av Vitruvius der Archimedes hadde intuisjonen til det grunnleggende prinsippet om hydrostatikk når han badet:
Archimedes, gresk forsker som bodde i Syracuse , Sicilia fra 287 f.Kr. AD til 212 f.Kr. AD , er kjent for sine mange vitenskapelige, teoretiske eller praktiske arbeider, enten i matematikk eller fysikk . Den Treatise on flytende legemer som strengt studerer nedsenking av et legeme, fast stoff eller væske, i en væske av lavere, lik eller høyere tetthet , legger grunnlaget for den grenen av fluidmekanikk , som vil bli kalt mer sent " hydrostatisk ". Denne boken er teoremet bærer navnet på forskeren, som er fullt demonstrert at det XVI th århundre.
Den Treatise on flytelegemene inneholder andre forslag vedrørende Arkimedes fremstøt:
Vitruvius rapporterer at kong Hieron II av Syracuse (306-214) ville ha bedt sin unge venn og vitenskapelige rådgiver Archimedes (da 22 år) om å verifisere om en gylden krone , som han hadde gitt som et tilbud til Zeus, var helt i gull eller om håndverkeren hadde lagt sølv i den . Sjekken var selvfølgelig ikke for å skade kronen. Formen på dette var også for komplisert til å beregne volumet av ornamentet. Archimedes angivelig funnet en måte å sjekke om kronen virkelig var gull, mens han var i det offentlige badet, og observerte hvordan gjenstander fløt i den. Han ville da ha gått ut på gaten helt naken og ropt “ Eureka ! » (Jeg fant det!), En formel som siden har blitt kjent.
Observasjonen som Archimedes gjorde ved det offentlige badet er at kroppene ikke har samme vekt for det samme gitte volum, det vil si har en annen masse per volumenhet. I dag snakker vi om tetthet . Sølv (tetthet 10.500 kg m −3 ) er mindre tett enn gull (tetthet 19 300 kg m −3 ), så det har en lavere tetthet: for å oppnå samme masse, tar det mer stor mengde sølv enn gull. Hvis håndverkeren gjemte penger i kongens krone, utledet Archimedes at kronen må være større enn om den utelukkende var laget av gull. Dermed ble juvelerens bedrag avslørt.
For å svare på kong Hierons spørsmål var Archimedes derfor i stand til å sammenligne vannvolumene som ble fortrengt av kronen og en mengde gull av identisk masse. Hvis begge beveger det samme volumet vann, er tettheten deres lik, og det kan konkluderes med at begge er laget av samme metall. For å utføre eksperimentet kan man tenke seg å dyppe gullmassen i en beholder fylt til randen (og utstyrt med en tut for bedre å observere tingen). En viss mengde vann vil da renne over fra beholderen (den kan samles for å måle den). Deretter fjerner vi gullet og erstatter det med kronen som skal studeres. Hvis kronen er helt gull, vil ikke vannet renne over. På den annen side, hvis densiteten er lavere og derfor volumet større for den samme massen, vil ytterligere vann renne over.
Mengden vann som er fortrengt vil avhenge av andelen sølv i gull; siden gull er omtrent dobbelt så tett som sølv, erstatter 10% av massen av gull med sølv til en volumøkning på 10%. Men på grunn av den høye tettheten av gull er volumet veldig lavt: volumet av en krone på 1 kg gull er bare litt mer enn 50 cm 3 og erstatning 10% gull med sølv gjør bare en forskjell på ca 4,34 cm 3 (volumet vann i en teskje)
Metoden som således er beskrevet av Vitruvius har to ulemper. Den første er at det ikke bringer Archimedes 'prinsipp inn i spillet her. Det andre problemet er at volumet av fortrengt vann på grunn av tettheten av gull og det lille volumet av kronen er veldig lite, og målingen forstyrres av vann som kan gå tapt i de forskjellige operasjonene. Det er derfor lite sannsynlig at Archimedes kunne ha trukket noen meningsfulle konklusjoner fra en slik opplevelse.
En mer realistisk metode er som følger. Vi balanserer en balanse med kronen på den ene siden og rent gull på den andre, hvis masse er like. Deretter er de veide gjenstandene helt nedsenket (for å overvinne innflytelsen av skalaene på skalaene, kan vi sikre at de er strengt identiske, eller, bedre, fjerne dem ved å erstatte dem med en tynn ledning og tetthet nær den for vann) . Hvis kronen ikke er rent gull, har den noe større volum, så den produserer en noe større oppadgående arkimedisk kraft enn den samme massen av rent gull, og balansen i balansen er brutt. Også her er vektforskjellen liten; under de forestillte forholdene tilsvarer det vekten på 5 cm 3 vann, dvs. 5 g . Vi trenger derfor en balanse som er i stand til å oppdage en slik variasjon, som er vanskelig, men ikke urealistisk.
Enheten ble faktisk produsert under navnet hydrostatisk balanse .
Anekdoten foreviges av titler som La Baignoire d'Archimède. A Little Mythology of Science av Sven Ortoli og Nicolas Witkowski (1998), eller The Bath of Archimedes - Poetic Anthology of Obériou av Henri Abril (2012).