Kronecker-produkt

I matematikk er Kronecker-produktet en operasjon på matriser . Dette er et spesielt tilfelle av tensorproduktet . Det er så navngitt som hyllest til den tyske matematikeren Leopold Kronecker .

Formell definisjon

La $A være$ en matrise av størrelse m x n og $B$ en matrise av størrelse p x q . Deres tensorprodukt er matrisen $A \otimes B$ av størrelse smp ved nq , definert av suksessive blokker av størrelse p x q , blokken av indeksen i , j er lik $til i , j B$

Med andre ord

A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a _ {{11}} B & \ cdots & a _ {{1n}} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m1}} B & \ cdots & a_ {{mn}} B \ end {pmatrix}}

Eller ved å detaljere koeffisientene,

A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a _ {{11}} b _ {{11}} og a _ {{11}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{11} } b _ {{1q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{11}} & a _ {{1n}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{1q}} \\ a _ {{11}} b _ {{21}} og a _ {{11}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ { {11}} b _ {{2q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{1n}} b_ {{21}} og a _ {{1n}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{2q}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{11}} b _ {{p1}} & a _ {{11}} b _ {{p2}} & \ cdots & a _ {{11}} b _ {{pq}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{1n }} b _ {{p1}} og a _ {{1n}} b _ {{p2}} & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{pq}} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a _ {{m1}} b _ {{11 }} og a _ {{m1}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{m1}} b _ {{1q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{11}} og a _ {{mn}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{1q}} \\ a _ {{m1}} b _ {{21}} & a _ {{m1}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ {{m1}} b _ {{2q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{mn }} b _ {{21}} og a _ {{mn}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{2q}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m1}} b _ {{p1}} & a _ {{m1}} b _ {{p2}} & \ cdots & a_ {{m1}} b _ {{pq}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{p1}} og a _ {{mn}} b _ {{p2}} & \ cdots og a _ {{mn}} b _ {{pq}} \ end {pmatrix}}

Eksempel

Som vist i eksemplet nedenfor består Kronecker-produktet av to matriser av å kopiere den andre matrisen flere ganger, ved å multiplisere den med koeffisienten som tilsvarer et begrep for den første matrisen.

{\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} og 3 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} } \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \ \ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ end {pmatrix}} = {\ begynn {pmatrix} 0 & 5 & 0 & 15 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 5 & 0 & 0 & 2 & 2 & 10 \\ 5 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 2 & 10 & 1 & 0 & 2 & 2 & 10 & 1 & 0 & 2 & 2 & 10 & 2 & 10 & 10 & 2 & 2

Eiendommer

Bilinearitet, assosiativitet

Kroneckers produkt er bilinear og assosierende: med forbehold om størrelseskompatibilitet for $A$ , $B$ og $C$ , har vi følgende ligninger:

A \ otimes (B + \ lambda \ \ cdot C) = (A \ otimes B) + \ lambda (A \ otimes C)

(A + \ lambda \ \ cdot B) \ ganger C = (A \ ganger C) + \ lambda (B \ tid C)

A \ otimes (B \ otimes C) = (A \ otimes B) \ otimes C

Kroneckers produkt er ikke kommutativt; men for alle $A$ og $B$ der finnes to permutasjon matriser $P$ og $Q$ , slik at $A \otimes B = P ( B \otimes A ) Q$ Hvis $videre$ $A$ og $B$ har samme størrelse, da $A \otimes B$ og $B \otimes A$ er tilsvarende ved permutasjon videre basisvektorene:

A \ tid B = P ^ {{- 1}} (B \ otimes A) P = {} ^ {{t}} \! P (B \ otimes A) P

hvor $P$ er en permutasjonsmatrise.

Egenskaper på det vanlige produktet

Følgende egenskaper blander aspektene knyttet til det vanlige matriksproduktet og Kronecker-produktet når størrelsen på matriser er slik at det er mulig å danne $AC-$ og $BD-$ produktene :

(A \ otimes B) (C \ otimes D) = (AC) \ otimes (BD)

Vi kan utlede at $A \otimes B$ er inverterbar hvis og bare hvis $A$ og $B$ er inverterbare, i så fall:

(A \ otimes B) ^ {{- 1}} = A ^ {{- 1}} \ otimes B ^ {{- 1}}

Spektrum

Ved å bruke den forrige egenskapen trekker vi ut at hvis $X$ og $Y$ er egenvektorer av $A$ og $B$ : og , så: $AX = \ lambda \ X$ $BY = \ mu \ Y$

(A \ otimes B) (X \ otimes Y) = \ lambda \ mu (X \ otimes Y)

Så hvis og er egenverdiene til $A$ og $B$ , så er egenverdiene til $A$ $\otimes$ $B$ , og teller mangfoldet. $\ lambda _ {{1}}, ..., \ lambda _ {{n}}$ $\ mu _ {{1}}, ..., \ mu _ {{m}}$ $\ lbrace \ lambda _ {{i}} \ cdot \ mu _ {{j}}, i = 1 ... n, j = 1 ... m \ rbrace$

Spesielt :

\ operatorname {Tr} (A \ otimes B) = \ operatorname {Tr} (A) \ operatorname {Tr} (B)

\ operatorname {det} (A \ otimes B) = \ operatorname {det} (A) ^ {{m}} \ operatorname {det} (B) ^ {{n}}

\ operatorname {rg} (A \ otimes B) = \ operatorname {rg} (A) \ operatorname {rg} (B)

hvor $Tr$ betegner spor , $Det$ på determinant og $RG$ den rang av matrisen.

Transposisjon

Vi har følgende egenskaper på transponeringen :

{} ^ {{t}} \! (A \ otimes B) = {} ^ {{t}} \! A \ otimes {} ^ {{t}} \! B

Ekstern lenke

(no) Eric W. Weisstein , “ Kronecker Product ” , på MathWorld