Ved analyse , en Banachrom X har den egenskap tilnærmelse , forkortet som PA, hvis noen kompakt operatør med verdier i X (og definert på et vilkårlig Banachrom) er en grense på begrensede operatorer av begrensede rekkene . Merk at det omvendte alltid er sant.
Ethvert Hilbert-rom har denne eiendommen. Det er noen Banach-rom som ikke gjør det: Per Enflo publiserte det første moteksemplet i 1973, men mye arbeid i denne retningen hadde blitt gjort av Alexandre Grothendieck . Mange andre moteksempler ble da funnet.
La X være et Banach-rom.
En definisjon av “ X a la PA” som tilsvarer innledningen er: for ethvert kompakt sett K ⊂ X og ethvert ε> 0 eksisterer det en avgrenset operatør T : X → X av endelig rang slik at ║ Tx - x ║ ≤ ε, for alle x ∈ K .
Andre varianter av denne egenskapen studeres også i funksjonell analyse .
La 1 ≤ λ < ∞ . Vi sier at X har egenskapen λ-tilnærming (λ -PA ), hvis det for et kompakt sett K ⊂ X og noe ε> 0 eksisterer en operatør T : X → X av endelig rang slik at ║ Tx - x ║ ≤ ε, for alle x ∈ K , og ║ T ║ ≤ λ.
Vi sier at X har egenskapen til avgrenset tilnærming ( PAB ), hvis den har λ-PA for en λ.
Vi sier at X har egenskapen til metrisk tilnærming ( PAM ), hvis den er 1-PA.
Vi sier at X har egenskapen til kompakt tilnærming ( PAC ), hvis "operatør av endelig rang" i definisjonen av PA erstattes med "kompakt operatør".
Hvis den doble X ' av X har PA (resp. PAB, PAM), så er X også.
For et reflekterende rom innebærer PA PAM.
Hvis mellomrom Y og den doble X ' av X har PA, så er plassen til kompakte operatører fra X til Y og den til sporoperatøren (i) også.
Ethvert rom som har en Schauder-base kan skilles og PAB (man kan bruke anslagene som er knyttet til basen, som T i definisjonen, og påberope seg Banach-Steinhaus-setningen ).
Den gjensidige er falsk: Det er enda to refleksive områder X og Y slik at Y og X ⊕ Y har en Schauder basis, men ikke X .
Alle de mellomrom L p ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) av en målt plass og mer generelt de områder av Orlicz , så vel som deres ultrapowers , har PAB.
Plassen for kontinuerlige funksjoner avgrenset til et helt vanlig rom , utstyrt med normen for ensartet konvergens , har PAM.
Uffe Haagerup demonstrerte at C * -algebra reduserte (in) den frie gruppen med n generatorer ( n ≥ 2), men ikke atom (fr) , en MAP.
Plassen til avgrensede operatører på ℓ 2 har ikke PA.
Enflo konstruerte et ikke- PAB (og refleksivt, derfor ikke-PA) underområde av rommet c 0 av null-bundne sekvenser.
Den mellomrom ℓ p for p ≠ 2 har også lukkede ikke-PA underrom .
I motsetning til hva denne familien av eksempler vil oppmuntre til antagelser , er et Banach-rom uten et lukket ikke-PA-underområde ikke nødvendigvis isomorf for et Hilbert-rom, selv ved å pålegge denne antagelsen også for dets kvoter .