Kompakt operatør

I matematikk , nærmere bestemt i funksjonell analyse , et kompakt operatør blir tilført kontinuerlig mellom to topologisk vektorrom X og Y sending avgrenset delmengder av X på delene forholdsvis kompakt i Y . De lineære applikasjonene Compact generaliserer kontinuerlige lineære applikasjoner av endelig rang .

Teorien er spesielt interessant for normaliserte vektorrom eller Banach-rom . Spesielt i et Banach-rom er settet med kompakte operatører stengt for den sterke topologien . Bedre, i et Hilbert-rom er en kompakt operatør avgrenset av avgrensede operatører av endelige ranger.

De første kompakte operatørene dukket opp med integrerte ligninger og studiet av funksjonelle rom . Den formelle løsningen av enkle integrerte ligninger avslører en kjerneoperatør hvis kompakthet skyldes like kontinuitetsegenskaper . Gjennom dette problemet dukket det opp en annen viktig klasse av operatører, Fredholm-operatørene . Forstyrrelsen av kompakte operatører bevarer Fredholm-egenskapen til å være og Fredholm-indeksen: dette er indeksstabilitetssetningen.

Definisjon

En operatør T til X i Y sies å være kompakt når T er kontinuerlig og at enhver avgrenset delmengde av X blir sendt på en relativt kompakt undersett av Y . (Når T er lineær, er den andre tilstanden nok til at den kan begrenses , derfor kontinuerlig hvis X dessuten er et normalisert vektorrom.)

Settet K ( X , Y ) for kompakte operatører fra X til Y danner derfor et vektorunderområde av ℒ ( X , Y ). Videre er forbindelsen til en kontinuerlig operatør og en kompakt operatør en kompakt operatør. Spesielt er K ( X ) = K ( X , X ) et tosidig ideal for ℒ ( X ). Kvotientalgebra ℒ ( X ) / K ( X ) kalles Calkins algebra .

Hvis topologien til X er definert av en norm , er de avgrensede delene av X nøyaktig de som er inkludert i en ball . I denne tilstanden vil en operatør T er kompakt hvis og bare hvis han sender ballen enheten X et relativt kompakt undersett av Y . På en tilsvarende måte ber vi om at for en hvilken som helst avgrenset sekvens ( x n ) av X , vil sekvensen ( Tx n ) innrømme en verdi av vedheft .

Eksempler

Endelige rangoperatører

La X være en vektor normert plass og T en avgrenset operatør på X . Hvis T er av endelig rang n , eksisterer det n kontinuerlige lineære former og n vektorer slik at $\ varphi_1, \ prikker, \ varphi_n \ i X '$ $x_1, \ prikker, x_n \ i X$

\ forall x \ i X, \ quad Tx = \ sum_ {1 \ le k \ le n} \ varphi_k (x) x_k.

De begrensede operatørene av endelig rang er kompakte fordi i et rom med endelig dimensjon er enhver begrenset lukket kompakt . Derfor, hvis X har en begrenset dimensjon , er en begrenset operatør fra Y til X kompakt. Omvendt, i henhold til Riesz kompaktitetssetning , hvis identitetskartet til X er en kompakt operator, har X en endelig dimensjon .

I ℒ ( Y , X ) med komplett X , settet med kompakte operatører fra Y til X lukkes, er enhver grense for operatører av endelig rang en kompakt operatør. Vi sier at X har tilnærming eiendom ( "PA") når det motsatte er tilfelle for hver Banachrom Y . Spesielt hvis X har PA , er kompakte operatorer i compact ( X ) nøyaktig grensene for operatører av endelig rang. Blant de områder som har den PA, la oss sitere for eksempel de Hilbert mellomrom , eller mellomrom som har en Schauder basis , slik som mellomrom $L$ $p$ $([0,1])$ , 1 ≤ p < $+ \infty$ .

Kjerneoperatører

Kompakte operatører i Hilbert-rom

Kompakt operatørspekter

Spektrumstruktur

Som før, anser vi en kompakt operatør T på en kompleks Banachrom X . Vi antar at X har uendelig dimensjon. Så:

den spekteret av T inneholder 0;
alle elementene som ikke er null, er egenverdier av T ;
det er på det meste tellbart ;
hvis det er uendelig å telle, er en opptelling {λ 1 , λ 2 , ...} av T en sekvens av grense 0 .

Underrom assosiert med ikke-null egenverdier

For ethvert komplekst λ ≠ 0 er operatoren T - λI Fredholms for indeks 0, dvs. dimensjonen til kjernen til T - λI er endelig, lik kodimensjonen til bildet . For en hvilken som helst egenverdi λ ≠ 0 har det tilknyttede egenområdet en begrenset dimensjon siden identitetskartet er kompakt , som en begrensning på T / λ. For en slik λ er det mulig å definere, som i endelig dimensjon, det tilhørende karakteristiske underområdet : det er foreningen av den økende, men stasjonære sekvensen av ker ( T - λI) n . Det er derfor ker ( T - λI) m for ethvert heltall m stort nok. For en slik m har vi den direkte topologiske summen $X = \ ker (T- \ lambda {\ rm I}) ^ m \ oplus {\ rm Im} (T- \ lambda {\ rm I}) ^ m,$ operatøren T - λI induserer på det første stabile underområdet en nilpotent endomorfisme og på den andre en binding .

Eksempler

Det kan skje at T ikke har egenverdi, derfor blir spektrumet redusert til 0, som i eksemplet til Volterra-operatøren T definert på $L 2 ([0,1])$ av $(Tf) (x) = \ int_0 ^ xf (y) \ mathrm dy.$

Merknader og referanser

(no) JM Ayerbe Toledano , T. Domínguez Benavides og G. Lopez Acedo , Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory , Springer,1997, 211 s. ( ISBN 978-3-7643-5794-8 , leses online ) , s. 1. 3, Hvor X og Y er banachrom og T er definert som en del av X .
(i) Yuri A. Abramovich og Charalambos D. Aliprantis , en invitasjon til operatørteori , AMS , al. " GSM " ( N o 50)2002( les online ) , s. 272-273.
(in) Ronald G. Douglas , Banach Algebra Techniques in Operator Theory , Academic Press , 1972, s. 133 .

Bibliografi

Walter Rudin , Funksjonsanalyse [ detalj av utgaver ]