Atomrom

I matematikk , og mer presist i analyse , er et kjernefysisk rom et topologisk vektorrom som har visse egenskaper som er analoge med de av endelige dimensjonale rom . Topologien deres kan defineres av en familie av semi-normer , hvis størrelse på enhetsballene avtar raskt. Vektorrom der elementene er "glatte" i en viss forstand, er ofte kjernefysiske rom; Et typisk eksempel er det med vanlige funksjoner på en rekke kompakter . Selv om definisjonen deres er notorisk vanskelig å manipulere, er denne klassen av rom viktig i funksjonell analyse .

Mye av teorien om kjernefysiske rom ble utviklet av Alexandre Grothendieck som en del av avhandlingen og presentert for Nicolas Bourbaki-seminaret i 1952, deretter publisert i 1955.

Definisjoner

Følgende tre definisjoner er alle likeverdige. Noen forfattere bruker en mer begrensende definisjon, og ber om at rommet også skal være et Fréchet-rom , det vil si at det er komplett og at dets topologi defineres av en tellbar familie av semi-normer.

Vi husker først at et lokalt konveks topologisk vektorrom V har en topologi definert av en familie av semi-normer . For enhver semi-norm er den lukkede enhetskulen et lukket , konveks og symmetrisk område på 0 ; omvendt, ethvert nabolag med 0 som har disse egenskapene er enhetsballen til noen semi-norm (for komplekse vektorrom må tilstanden "å være symmetrisk" erstattes med "å være balansert "). Hvis p er en seminorm i løpet av V , betegner vi ved V p den Banachrom oppnådd ved quotienting og fullføre V for denne semi-norm p . Det eksisterer et kanonisk (ikke nødvendigvis injeksivt ) kart fra V til V p .

Definisjon 1 : Et kjernefysisk rom er et lokalt konveks topologisk vektorrom slik at det for enhver kontinuerlig semi-norm p eksisterer en større kontinuerlig semi-norm q slik at det kanoniske kartet fra V q til V p er kjernefysisk (en) .

Dette tilsvarer i det vesentlige å si at, gitt enhetsballen til en semi-norm, kan vi finne en annen semi-norm hvis enhetsball er inneholdt i denne, og er "mye mindre", eller til og med mer enn alt. Nabolaget til 0 inneholder et "mye mindre" nabolag. Det er ikke nødvendig å sjekke denne tilstanden for alle semi-standarder, men bare for et sett som genererer topologien, det vil si for en forhåndsbase for topologien.

Denne definisjonen ved bruk av Banach-rom kan skrives om med hensyn til Hilbert-rom , noe som gjør det mer håndterbart fordi atomoperatørene på et slikt rom ikke er noen andre enn sporoperatørene : vi sier at semi-norm p er en semi-standard Hilbert hvis V p er et Hilbert plass, noe som betyr at p er fra et symmetrisk bilineær skjema (eller Hermitisk skjema ) positiv (men ikke nødvendigvis er definert) på V . Imidlertid, for ethvert atomrom i betydningen av definisjon 1 ovenfor, kan semi-normene som definerer topologien velges Hilbertian. Vi har da

Definisjon 2 : Et kjernefysisk rom er et topologisk vektorrom hvis topologi er definert av en familie av Hilbertianske semi-normer, og slik at det for hver seminorm p i denne familien eksisterer et større q , for hvilket l 'kanonisk kartlegging fra V q til V p er en sporoperatør.

Grothendieck bruker en mer egen definisjon (og nærmere språket i kategorier ):

Definisjon 3 : Et kjernefysisk rom er et lokalt konveks topologisk vektorrom A slik at det kanoniske kartet over det (i) projiserende topologiske tensorproduktet til A og B til deres topologiske tensorprodukt er en isomorfisme for ethvert lokalt konveks topologisk vektorrom B , , og dermed gi opphav til det samme komplementet . $A {\ otimes} _ {{\ pi}} B$ $A {\ otimes} _ {{\ varepsilon}} B$ $A {\ hat {\ otimes}} B$

Faktisk er det tilstrekkelig at denne tilstanden blir bekreftet for alle Banach-rom B , og til og med for det unike Banach-rommet ℓ 1 i den absolutt konvergente serien.

Eksempler

Et normalisert vektorrom er kjernefysisk hvis og bare hvis det er endelig-dimensjonalt (hvis: fordi alle operatører på et endelig-dimensjonalt rom er kjernefysiske; bare hvis: på grunn av Riesz kompakthetssetning ).
Det enkleste eksempelet på et kjernefysisk rom med uendelig dimensjon er rommet C for raskt synkende sekvenser ( c = ( c 0 , c 1 , ...) slik at sekvensen p ( n ) c n er avgrenset for et hvilket som helst polynom p ). For alle reelle s kan vi definere en norm || · || s av: || c || s = sup | c n | n s . Merk C er komplementet til C for denne normen, det er et naturlig kart fra C s til C t hvis s ≥ t , og det er kjernefysisk hvis s > t +1, hovedsakelig fordi serien Σ n t - s da er absolutt konvergent. Spesielt for hver standard || · || t , kan vi derfor finne en annen norm || · || t +2 slik at anvendelsen av C t +2 på C t er kjernefysisk, og rommet C derfor faktisk er kjernefysisk.
Rommet for glatte funksjoner (av klasse $C \infty$ ) på en kompakt manifold er kjernefysisk.
Den Schwartz plass av glatte funksjoner i løpet av ℝ n som derivater av alle bestillinger blir raskt fallende er en kjernefysisk plass.
Rommet til hele funksjoner på det komplekse planet er kjernefysisk.

Eiendommer

I en viss forstand er kjernefysiske rom veldig lik endelige dimensjonale rom, og deler mange av deres egenskaper. Så:

Enhver avgrenset del av et kjernefysisk rom er forhåndskompakt . Denne eiendommen kan sees på som en generalisering av Borel-Lebesgue-teoremet til kjernefysiske rom.
Delområdene og kvotientområdene ved et lukket underrom av kjernefysiske rom er kjernefysiske.
Den induktive grensen og den prosjektive grensen for en serie kjernefysiske rom er kjernefysiske.
Den sterke doble av et kjernefysisk Fréchet-rom er kjernefysisk (mer presist, et Fréchet-rom er kjernefysisk hvis, og bare hvis dets sterke dobbel er kjernefysisk).
Produktet fra en familie av kjernefysiske rom er kjernefysisk.
Den fullføringen av en kjernefysisk plass er atom (er dessuten et mellomrom atom hvis og bare hvis den er ferdig er).
Det topologiske tensorproduktet (en) av to kjernefysiske rom er kjernefysisk.
Ethvert komplett (eller til og med nesten fullstendig) fatrom som er kjernefysisk er et Montel-rom .
Ethvert atomrom er et Schwartz-rom (i den generelle forstand av begrepet) .

Av sylindriske tiltak (i) er ofte lett å bygge på vilkårlige topologiske vektorrom, men de er ikke brukbare i praksis, fordi de er generelt ikke engang countably additiv . På den annen side strekker enhver sylindrisk måling på det dobbelte av et kjernefysisk Fréchet-rom seg (naturlig) til en Radon-måling .

The Bochner-Minlos teorem

Vi sier at en kontinuerlig funksjonell C over et kjernefysisk rom A er en karakteristisk funksjonell hvis C (0) = 1 og hvis vi for alle endelige sekvenser av komplekser og vektorer av A , j = 1,…, n , har vi $z_ {j}$ $x_ {j}$

\ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} z_ {j} {\ bar z} _ {k} C (x_ {j} -x_ { k}) \ geq 0.

Gitt en karakteristisk funksjonell på A , garanterer Bochner-Minlos teoremet (på grunn av Salomon Bochner og Robert Adol'fovich Minlos (en) ) eksistensen og unikheten av et sannsynlighetsmål $μ$ på det doble rommet $A '$ , som f.eks.

C (y) = \ int _ {{A '}} e ^ {{i \ langle x, y \ rangle}} ~ {\ mathrm d} \ mu (x).

Dette utvider den omvendte Fourier-transformasjonen til kjernefysiske rom.

Spesielt, dersom A er den kjernefysiske plass , hvor $H$ $k$ er Hilbert mellomrom, den Bochner-Minlos teorem sikrer at det foreligger en sannsynlighet tiltak med den karakteristiske funksjon , det vil si l eksistensen av den Gaussiske mål på den doble plass; denne målingen kalles hvit støy måling . Hvis A er Schwartz-rommet, er det tilsvarende tilfeldige elementet en tilfeldig fordeling . ${\ displaystyle A = \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} H_ {k}}$ $e ^ {{- {\ frac 12} \ | y \ | _ {{H_ {0}}} ^ {2}}}$

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Nuclear space " ( se listen over forfattere ) .

A. Grothendieck, “ topologiske tensor produkter og kjerne mellomrom ”, Bourbaki Seminar , vol. 2 (1951-1954),Desember 1952, s. 193-200 ( les online ).
A. Grothendieck, “ Topologiske tensor produkter og kjernefysiske områder ”, Mem. Er matematikk. Soc. , vol. 16,1955.
En lineær operator $A: V \to W$ mellom to Banach-rom sies å være kjernefysisk hvis den kan skrives med (den topologiske doble av $V$ ) og . ${\ displaystyle A (x) = \ sum y_ {n} (x) x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ i W, y_ {n} \ i V '}$ ${\ displaystyle \ sum \ | x_ {n} \ | \ | y_ {n} \ | ~ <~ \ infty}$
A begrensede operatoren $A: V \to W$ mellom to Hilbertrom sies å spore hvis der er en Hilbert basis av $V$ . ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ langle (A ^ {*} A) ^ {1/2} (e_ {i}), e_ {i} \ rangle ~ <\ infty}$ $(e_ {i}) _ {{i \ i I}}$
(in) Helmut H. Schaefer (de) , Topological Vector Spaces , New York, Springer al. " GTM " ( n o 3)1999, 2 nd ed. ( ISBN 978-0-387-98726-2 , leses online ) , s. 102.
Dette er den topologiske doble , forsynt med topologien om ensartet konvergens på en hvilken som helst avgrenset del av rommet.

Se også

Bibliografi

(en) IM Gel'fand og N. Ya. Vilenkin (en) , Generaliserte funksjoner - vol. 4: Anvendelser av harmonisk analyse ,1964( OCLC 310816279 )
(no) Takeyuki Hida et Si Si, Forelesninger om hvite støyfunksjoner , World Scientific Publishing, 2008 ( ISBN 978-981-256-052-0 )
(en) TR Johansen, “The Bochner-Minlos Theorem for atomic spaces and an abstract white noise space”, 2003, pdf
(en) GL Litvinov , “Nuclear space” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , les online )
(no) Albrecht Pietsch (de) , Nuclear lokalt konvekse rom , Berlin, New York, Springer , koll. " Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) " ( n o 66),1972( 1 st ed. 1965), 192 s. ( ISBN 978-0-387-05644-9 )
(en) AP Robertson og WJ Robertson , Topological vector spaces , CUP , al. "Cambridge Tracts in Mathematics" ( nr . 53)1964, s. 141
(en) François Treves , Topologiske vektorområder, distribusjoner og kjerner , Dover-publikasjoner ,2007, 565 s. ( ISBN 978-0-486-45352-1 og 0-486-45352-9 , les online )

Relaterte artikler

C * -nuklear algebra (av)
Bochners teorem