q -analog
I matematikk , nærmere bestemt innen kombinatorikk , er en q -analog av en teorem, av en identitet eller et uttrykk en generalisering som involverer en ny parameter q og som spesialiserer seg på den originale teorem når man tar grensen når q nærmer seg 1 Matematikere er vanligvis interessert i tilfeller der en q -analog forekommer naturlig, snarere enn tilfeller der vi vilkårlig tilføyer en parameter q til et allerede kjent setning. De første q -analogene som ble studert i detalj var de hypergeometriske seriene basic, som ble introdusert i XIX - tallet.
De Q- analoger finne programmer i flere felt, blant annet studiet av fraktaler , tallteori , og uttrykk for entropien kaotiske dynamiske systemer. De q -analoger vises også i studiet av kvantegrupper og superalgebras (i) q -déformées .
Det er to hovedgrupper av q -analoger: q- klassikerne -analoger, som ble introdusert i arbeidet til Leonhard Euler og ble deretter utvidet av Frank Hilton Jackson (in) , og q ukonvensjonelle -analoger.
q - klassisk teori
q -derivativ
Derivatet av en reell variabel funksjon i er grensen for vekstrate når det nærmer seg , og kalles tradisjonelt forskjellen så . Men for ikke-null, kan vi også skrive kvotienten slik at . Det er dette siste kvotienten som kalles q -derivative av en , som har en tendens til når når en tendens til 1, hvis er avledet i . Vi bemerker da at q -derivatet til funksjonen er verdt , noe som har en tendens mot derivatet når det har en tendens til 1. Dette rettferdiggjør følgende definisjon:
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}τ=f(x′)-f(x)x′-x{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x ') - f (x)} {x'-x}}}x′{\ displaystyle x '}x{\ displaystyle x}h{\ displaystyle h}x′-x{\ displaystyle x'-x}τ=f(x+h)-f(x)h{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}x{\ displaystyle x}q{\ displaystyle q}x′/x{\ displaystyle x '/ x}τ=f(qx)-f(x)(q-1)x{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}f′(x){\ displaystyle f '(x)}q{\ displaystyle q}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}x↦xikke{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}qikke-1q-1xikke-1{\ displaystyle {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1}}ikkexikke-1{\ displaystyle nx ^ {n-1}}q{\ displaystyle q}
q- entre
Vi definerer q -analogen til det positive heltallet ved å:
ikke{\ displaystyle n}
[ikke]q=1-qikke1-q=qikke-1q-1=1+q+q2+...+qikke-1.{\ displaystyle [n] _ {q} = {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} = 1 + q + q ^ {2} + \ ldots + q ^ {n-1}.}q -faktor
Vi så naturligvis definere q -analogue av fakultetet av heltallet etter:
ikke{\ displaystyle n}
ikke!q{\ displaystyle n! _ {q}}
|
=[1]q⋅[2]q⋯[ikke-1]q⋅[ikke]q{\ displaystyle = [1] _ {q} \ cdot [2] _ {q} \ cdots [n-1] _ {q} \ cdot [n] _ {q}}
|
|
=1-q1-q⋅1-q21-q⋯1-qikke-11-q⋅1-qikke1-q{\ displaystyle = {\ frac {1-q} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {2}} {1-q}} \ cdots {\ frac {1-q ^ {n -1}} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}}}
|
|
=1⋅(1+q)⋯(1+q+⋯+qikke-2)⋅(1+q+⋯+qikke-1).{\ displaystyle = 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n-1}).}
|
Dette q -analogue av den faktorielle har følgende kombinato tolkning: samtidig er antallet ordre permutasjoner , telle de samme permutasjoner samtidig holde rede på antallet av inversjoner . Det vil si at hvis det er antall inversjoner av permutasjon og alle permutasjoner av orden n , har vi: .
ikke!{\ displaystyle n!}ikke{\ displaystyle n}ikke!q{\ displaystyle n! _ {q}}inv(σ){\ displaystyle {\ text {inv}} (\ sigma)}σ{\ displaystyle \ sigma}Sikke{\ displaystyle S_ {n}}∑σ∈Sikkeqinv(σ)=ikke!q{\ displaystyle \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} q ^ {{\ text {inv}} (\ sigma)} = n! _ {q}}
Den q -factorial er også skrevet konsist i form av Pochhammer sin q -Symboler :
ikke!q=(q;q)ikke(1-q)ikke{\ displaystyle n! _ {q} = {\ frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}}.
q- binomiale koeffisienter
Fra q -faktoriet definerer vi q- binomiale koeffisienter eller Gaussiske binomiale koeffisienter , q -analoger av binomiale koeffisienter :
(ikkek)q=ikke!q(ikke-k)!qk!q{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q} = {\ frac {n! _ {q}} {(nk)! _ {q} k! _ {q}}}}, bemerket også .
[ikkek]q{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {q}}Dette gjør det også mulig å definere en q -analog av det eksponentielle (in)
eqx=∑ikke=0∞xikke[ikke]q!{\ displaystyle e_ {q} ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {[n] _ {q}!}}},
deretter for å definere q -analoger av trigonometriske og hyperbolske funksjoner, samt en q -analog av Fourier-transformasjonen .
q - ikke-klassiske analoger
applikasjoner
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den
engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen
" q-analog " ( se listen over forfattere ) .
-
(in) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications , E. Horwood, 1983 ( ISBN 978-0-85312491-7 ) .
-
(in) FH Jackson, "Vi q-funksjoner og har en eller annen forskjellsoperatør", Trans. Roy. Soc. Edin. , flygning. 46, 1908, s. 253-281.
-
(en) Thomas Ernst , “ A method for q-calculus ” , JNMP , vol. 10, n o 4,2003, s. 487-525 ( les online ).
-
(no) Victor Kac og Pokman Cheung, Quantum Calculus , Springer,2002( les online ) , kapittel 1
-
(in) George Pólya and Gábor Szegő , Problems and Theorems in Analysis , vol. Jeg, Springer ,1997( 1 st ed. 1972) ( lese linjen ) , s. 11. Nederst på denne side 11 står det skrevet: “ Jfr CF Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, spesielt s. 16–17 . "
-
Jf. For eksempel (i) Eric W. Weisstein , " q- binomial koeffisient " , på MathWorld eller (i) "Umbral calculus" , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , les online ).
Se også
Relatert artikkel
q -avledet (i)
Eksterne linker
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">