Hippias Quadrator

Den quadratrix av Hippias , trisectrix eller quadratrix av Dinostrate er en mekanisk kurve hvis oppfinnelse er tilskrevet av Proclus til sofisten Hippias av Elis (c. 420 f.Kr. ), som brukes til å løse problemet. Av tredelingen av vinkelen (derav navnet på "trisectrix"). Rundt 350 f.Kr. AD , Dinostratus brukte den til å løse kvadratingen av sirkelen . Dette er et av de tidligste eksemplene på en ikke-sirkulær kurve.

Definisjon

Hippias quadratrix er beskrevet ved å komponere en ensartet rettlinjet bevegelse med en ensartet sirkelbevegelse som følger. På torget ABCD , med tanke på DB kvadranten sentrum A . La E være et punkt som beskriver dette kvarteret av en sirkel fra D til B ved konstant hastighet, og la F være et punkt som beskriver segmentet DA med konstant hastighet, slik at E og F starter samtidig fra punkt D og samtidig kommer til punkt B ( resp. A ). Den quadratrix er det geometriske sted for skjæringspunktet S på segmentet AE og parallelt med AB gjennom F .

Hvis vi betegner med a siden av firkanten og tar punkt A som opprinnelsen til et kartesisk koordinatsystem med x-aksen langs AB , er den parametriske ligningen til kvadratrisen

{\ displaystyle \ gamma: [0, {\ tfrac {\ pi} {2}}] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}

{\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {2a} {\ pi}} t \ cot (t) \\ {\ frac {2a} {\ pi}} t \ end {pmatrix}}}

Vi kan bruke denne ligningen til å abstrakt definere kvadratrisen, med en vanskelighet knyttet til imidlertid ikke-definisjonene til funksjonssengen ( t ).

Påføring på tredeling av vinkelen

Den tredeling av vinkelen er en av de tre store problemer med antikken , som overs tilfeller av inconstructibility " med en linjal og kompass ". I følge Proclus ville Hippias ha forestilt seg kvadratrisen som et middel til å dele en vinkel grafisk.

Ved konstruksjon er vinkelen i midten av et punkt i kvadraten proporsjonal med ordinaten (regnet fra D); derfor, hvis vi kan kutte et segment i like deler, vil vi derved dele en vinkel i tre like vinkler. Inndelingen av et segment i 3 like segmenter er imidlertid konstruerbar med en linjal og et kompass .

La vinkelen BAE være således (≤ 90 °): vi konstruerer på sin base AB en firkant ABCD og vi danner den innskrevne kvadraten takket være mekanismen beskrevet ovenfor. Den andre siden av vinkelen krysser kvadratrisen ved punkt G , og linjen parallell med siden AB fra G avskjærer siden AD av firkanten ved punkt F ; segmentet AF er proporsjonalt med buen BE eller, mer presist, forholdet mellom lengdene AF / AD er lik forholdet mellom lengdene på buene BE / BD .

Nå tar du fra A tre like opprettede segmenter ( AN , NM , MO ) og tegner linjen OF ; led deretter fra M og N paralleller til denne linjen; vi deler dermed AF i tre like store segmenter. Parallellene til AB tatt fra endene av disse segmentene: P , Q , krysser kvadratrisen ved punktene U og T som nøyaktig deler den gitte vinkelen i tre like vinkler.

Kvadratrisen kan ikke konstrueres med en linjal og et kompass: den er bare en kurve "konstruerbar etter punkter", det vil si at man bare kan konstruere et tellbart sett med poeng fra den. Det er sant at vi altså kan tegne kvadratrisen ganske presist, men den kan virkelig oppnås i sin helhet bare ved en mekanisme; imidlertid, er det nødvendig å ha hele kurven for å være i stand til å bruke det, fordi de brukbare krysningspunktene er åpenbart a priori ubestemt.

Påføring på kvadrering av sirkelen

Som triseksjonen av vinkelen er kvadrering av sirkelen med en linjal og et kompass umulig, men Hippias-kvadratoren tillater konstruksjon av det søkte torget (eller, som tilsvarer det samme, av et kvadrat med samme område som kvartalet av den gitte sirkelen).

Dinostratus 'lemma sier at Hippias quadratrix deler siden av torget i forholdet . Med andre ord, gitt en kvadrant med radius r , danner vi først den omskrevne firkanten ABCD (derfor av kanten r ). Quadratrix avskjærer siden AB av torget i J slik at . ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {\ pi}}}$ ${\ displaystyle AJ = {\ tfrac {2} {\ pi}} r}$

Konstruksjonen av et kvadrat med areal π / 2 kan lett utledes av dette.

Fra punkt J løfter vi et segment JK vinkelrett på AB og med lengde r . La L være skjæringspunktet mellom AK og den forlengede side BC . Fra likheten mellom trekantene AJK og ABL har vi . Hvis vi nå utvider radien AB med et kollinært segment , danner BL og BO sidene av et rektangel OBLN , hvis areal er det av kvartsirkelen. Det gjenstår å danne en firkant av samme område, som oppnås ved hjelp av de metriske forholdene i høyre trekant og Thales 'teorem . ${\ displaystyle BL = {\ tfrac {\ pi} {2}} r}$ ${\ displaystyle BO = {\ tfrac {r} {2}}}$

For å gjøre dette strekker vi PÅ med et segment , beskriver en halvsirkel med diameter NQ og strekker AO til vi avskjærer halvcirkelen. La R være skjæringspunktet. I følge Thales 'teorem er trekanten NQR en rett trekant, og de metriske forholdene indikerer at høyden ELLER er kanten av et kvadrat med samme område som rektanglet OBLN . ${\ displaystyle OQ = {\ tfrac {r} {2}}}$

Det er viktig å merke seg at pantografen Hippias forestiller seg ikke gjør det mulig å oppnå skjæringspunktet J for kvadratrisen med siden AB av firkanten, fordi de to linjaler (den roterende radien og linjalen i vertikal oversettelse) er overlagret når 'de passerer gjennom punkt B , og har derfor ikke lenger et unikt skjæringspunkt (redusert til et punkt). Og slik at vi ikke mer kan danne poenget J med kvadratrisen enn med linjalen og kompasset.

Historisk

Quadratrix-historien, dens konstruksjon og dens applikasjoner har nådd oss gjennom tre forskjellige kilder: Proclus (412-485), Pappus of Alexandria ( IV th century ) og Iamblichus (ca. 240-325). Proclus kaller Hippias som oppfinneren av kvadratrisen og viser hvordan Hippias brukte denne kurven til triseksjonen av vinkelen. Pappus viser på sin side hvordan Dinostratus, Nicomedes og andre geometre brukte en kurve de kalte en "quadratrix" for grafisk å løse problemet med kvadrering av sirkelen; ingen steder henviser han til Hippias, og nevner ikke engang navnet hans med kurvens navn. Jamblique indikerer bare ved begynnelsen av en setning at Nicomedes brukte en firkantkurve for å firkantet sirkelen. Selv om navnet på quadratrice, gitt av Proclus, antyder at Hippias forestilte seg det for å løse problemet med kvadraturen, Moritz Cantor , og følge Thomas Heath og Abel Rey , hvis de innrømmer at det er selv om Hippias som oppfant det, ta den andre hånd at han bare gjorde det for å løse triseksjonen av vinkelen, og at dens anvendelse på kvadraturen er arbeidet med senere geometre, sannsynligvis Dinostratus og Nikomedes .

Se også

Relatert artikkel

Den cissoid av Diocles , en mesolabe .

Bibliografi

Henri Lebesgue , Leksjoner om geometriske konstruksjoner , Paris, Gauthier-Villars ,1950( opptrykk 2003), 318 s. , "1-Løsningen på grunnleggende problemer: tredeling av vinkelen, duplisering av kuben"
Robert Baccou , Gresk vitenskapshistorie, fra Thalès til Sokrates , Paris, Aubier,1951, 256 s.
Felix Klein , Famous Problems of Elementary Geometry , Boston etc., Ginn & Co.,1897( opptrykk 2007) ( les online ) , s. 57-58)
Thomas Heath , A History of Greek Mathematics , vol. 1: Fra Thales til Euclid , Clarendon Press ,1921( Opptrykk Elibron Classics 2006), s. 225-230.

Eksterne linker

Kvadratrisen til Dinostrate på MathCurve.
Quadratrix og kvadrering av sirkelen på stedet for universitetet i Lüneburg.
Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: Hippias quadratrice .
(no) Quadratrix of Hippias på MathWorld-nettstedet.

Referanser

Abel Rey , The Peak of Greek Technical Science , vol. IV: Matematikk fra Hippokrates til Platon , Albin Michel , koll. "Menneskehetens evolusjon",1946, kap. 5 (“Fra kvadratur til tredeling av vinkelen og øvre geometri: Hippias av Elea”), s. 224-227.
Ifølge (i) Underwood Dudley , The Trisectors (Washington, DC), CUP ,1994, 184 s. ( ISBN 0-88385-514-3 , leses online ) , s. 6-8.
Jf. Lebesgue 1950 , del III, nr . 1, “Kurver konstruerbare av uspesifiserte punkter”.
Jf. Jean-Paul Delahaye , Le Fascinant Nombre $π$ [ detalj av utgaven ], kap. 3 (“Historie av π på tidspunktet for geometrien”), s. 54 .
(in) Thomas Little Heath , A History of Greek Mathematics , Vol. 1: Fra Thales til Euclid , CUP ,2013( 1 st ed. 1921) ( ISBN 978-1-108-06306-7 , lese online ).