Kva-kategori

I matematikk , nærmere bestemt i kategoriteori , er en kvasi-kategori en generalisering av begrepet kategori. Studiet av slike generaliseringer er kjent under navnet teori om høyere klasser (i) .

Kvasi-kategorier ble introdusert av Boardman (de) og Vogt i 1973. André Joyal avanserte studien av kvasi-kategorier sterkt ved å vise at det er en analog for kvasi-kategorier av mest grunnleggende forestillinger. Kategoriteori og til og med noen forestillinger og teoremer ved et mer avansert nivå. Jacob Lurie skrev en detaljert avhandling om denne teorien i 2009.

Kvasi-kategorier er enkle sett av en bestemt type. Som vanlige kategorier inneholder de objekter, 0-enkelhetene til det enkle settet, og morfismer mellom disse objektene, 1-enkelhetene. Men i motsetning til standardkategorier er sammensetningen av to morfismer ikke entydig definert. Alle morfismene som kan tjene som en sammensetning mellom to gitte morfismer er koblet sammen av inversible morfismer av høyere orden (2-simplekser betraktet som "homotopies"). Disse morfismene av høyere orden kan også være sammensatte, men igjen er sammensetningen bare godt definert til nær enda høyere orden inverterbare morfmer, etc.

Tanken bak teorien om høyere kategorier (i det minste når høyere morfismer er inverterbare) er å gi, i motsetning til hva som gjøres i standardkategoriteori, settet med morfismer mellom to objekter med en topologisk romstruktur . Dette antyder at en høyere kategori bare skal være en topologisk beriket kategori . Modellen av kvasi-kategorier er imidlertid best egnet for applikasjoner som beriket kategorier topologisk, selv om Lurie har bevist at begge har naturlige mønstre Quillen-ekvivalent (in) .

Definisjon

Per definisjon er en kvasi-kategori C er et simplekskompleks sett tilfredsstiller de innvendige forhold med hensyn Kan noen "horn C " (simplekskompleks applikasjons i C med ) har en forlengelse i C . (Se Kan's Fibration (en) for en definisjon av enkle sett og .) ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} [n]}$ ${\ displaystyle 0 <k <n}$ ${\ displaystyle \ Delta [n]}$ ${\ displaystyle \ Delta [n]}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} [n]}$

Tanken er at 2-simpleksene skal representere kommutative trekanter (i det minste opp til homotopi). En applikasjon representerer et komponerbart par. I en kvasi-kategori kan man altså ikke definere en lov om komposisjon på morfismene, siden det er forskjellige måter å komponere kartene på.

Det følger av denne definisjonen som er en triviell Kan-fibrering. Med andre ord, selv om komposisjonsloven ikke er unikt definert, er den unik bortsett fra et kontraktilt valg. ${\ displaystyle C ^ {\ Delta [2]} \ til C ^ {\ Lambda ^ {1} [2]}}$

I nesten hver kategori C , kan man knytte en vanlig klasse hc , kalt homotopi kategori (i) fra C . Formålene med fore homotopiteori kategorien er toppene C . Morfismene er gitt av homotopiklasser av kanter mellom hjørner. Sammensetningen er gitt ved bruk av "hornfyll" for n = 2.

For et generelt forenklet sett eksisterer det en funktor fra sSet i Cat (en) , kalt grunnleggende funksjon, og for en kvasi-kategori C er den grunnleggende kategorien og den homotopiske kategorien identisk; det vil si . $\ tau_1$ ${\ displaystyle \ tau _ {1} (C) = hC}$

Eksempler

Den nerve fra en kategori er en kvasi-kategori verifisere den ytterligere egenskap at fyllingen av en hvilken som helst indre trakt er unik. Omvendt er en kvasi-kategori slik at ethvert indre horn har en unik fylling, isomorf til nerven i en kategori. Den homotopiteori kategori av nerve C er isomorf med C .
Gitt et topologisk rom X , definerer vi sitt entallsett S ( X ). Det er et forenklet sett også kjent som ∞-groupoid of X fundamental . S ( X ) er en kvasi-kategori der hver morfisme er inverterbar. Homotopic klasse av S ( X ) er den fundamentale groupoid av X .
Mer generelt er ethvert Kan (en) -kompleks et eksempel på en kvasi-kategori. I et Kan-kompleks kan kartleggingen av alle hornene, ikke bare de av de indre hornene, oppfylles, noe som har den konsekvens at alle morfismene til et Kan-kompleks er inverterbare. Kan-komplekser er derfor analoge med groupoids ved at nerven til en kategori er et Kan-kompleks hvis og bare hvis kategorien er en groupoid.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Quasi-category " ( se forfatterlisten ) .

(en) JM Boardman og RM Vogt, Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces , Springer-Verlag , al. "Forelesningsnotater i matematikk" ( nr . 347),1973( DOI 10.1007 / BFb0068547 , matematiske anmeldelser 0420609 ).
(i) Jacob Lurie , Higher Topos Theory , Princeton University Press , koll. "Annaler for matematikkstudier" ( nr . 170)2009, 925 s. ( ISBN 978-0-691-14049-0 , Matematiske anmeldelser 2522659 , arXiv matematikk.CT / 0608040 , les online ).

Se også

Bibliografi

(en) André Joyal, “ Quasi-categories and Kan complexes ” , J. Pure Appl. Algebr. , vol. 175, n o 1,2002, s. 207-222 ( DOI 10.1016 / S0022-4049 (02) 00135-4 , matematiske anmeldelser 1935979 )
(no) André Joyal og Myles Tierney, "Kvasi-kategorier vs Segal-rom" , i Kategorier i algebra, Geometri og matematisk fysikk , AMS , koll. “Contemp. Matte. "( N o 431)2007, 277-326 s. ( Matematikkanmeldelser 2342834 , arXiv matematikk.AT/0607820 )

Eksterne linker

(no) Moritz Groth, Et kort kurs om uendelig-kategorier [1]
(no) André Joyal, Notater om kvasikategorier [2]
(no) Joyal på Catlab: Teorien om kvasi-kategorier
(no) Workshop for homotopiteori om homotopiteorier