Gjensidig nettverk
I krystallografi er det gjensidige gitteret til et Bravais-gitter settet med vektorer som:
K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}![\ vec {K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ef2bc5a670f1adc56416fb29d02e1f9d91fa53)
eJegK→⋅R→=1{\ displaystyle e ^ {i {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {R}}} = 1}![{\ displaystyle e ^ {i {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {R}}} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e217b3a359ecb35ecac07d36fbaeb686bedfbed4)
for alle posisjonsvektorer av Bravais-gitteret. Dette gjensidige nettverket er i seg selv et Bravais-nettverk, og dets gjensidige nettverk er det startende Bravais-nettverket.
R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}![{\ vec {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f361eec9da18669c0e7e869c57bae6c657f53522)
Mesh av det gjensidige nettverket
En krystall kan beskrives som et nettverk der det er mønstre: atom , ion , molekyl .
Hvis man kaller vektorene som definerer den elementære cellen , definerer disse vektorene en base av rommet. Vi kan definere et gjensidig grunnlag ved å
verifisere(e1→,e2→,e3→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})}
(e1∗→,e2∗→,e3∗→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})}![({\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda1a141d0a7369d43fbd0107629c108dc383467)
eJeg→⋅ej∗→=δJegj={1,hvis Jeg=j0hvis Jeg≠j{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} = \ delta _ {ij} = {\ start {cases} 1, & {\ text { si}} i = j \\ 0 og {\ text {si}} i \ neq j \ end {cases}}}![{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} = \ delta _ {ij} = {\ start {cases} 1, & {\ text { si}} i = j \\ 0 og {\ text {si}} i \ neq j \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9537c4744427674ab2779b2c2c0ccee89e8cc72)
Som gir:
e1∗→=1Ve2→∧e3→,{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}} ,}
e2∗→=1Ve3→∧e1→,{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}} ,}
e3∗→=1Ve1→∧e2→,{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {1}}} \ wedge {\ vec {e_ {2}}} ,}![{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {1}}} \ wedge {\ vec {e_ {2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d54517c357ec47af3fcbeaacbb9e6c7a3024761)
hvor er volumet av masken i det direkte nettverket (beregnet ved hjelp av det blandede produktet av vektorene i nettet):
V{\ displaystyle V}![V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
V=e1→⋅(e2→∧e3→)=e2→⋅(e3→∧e1→)=e3→⋅(e1→∧e2→).{\ displaystyle V = {\ vec {e_ {1}}} \ cdot ({\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}}) = {\ vec {e_ {2} }} \ cdot ({\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}}) = {\ vec {e_ {3}}} \ cdot ({\ vec {e_ {1} }} \ wedge {\ vec {e_ {2}}}).}![{\ displaystyle V = {\ vec {e_ {1}}} \ cdot ({\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}}) = {\ vec {e_ {2} }} \ cdot ({\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}}) = {\ vec {e_ {3}}} \ cdot ({\ vec {e_ {1} }} \ wedge {\ vec {e_ {2}}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fddb5f4646711f05c8873e80d5a4905b268a346)
Punktene som har heltallskoordinater i koordinatsystemet, danner et nettverk som kalles et gjensidig nettverk .
(O,e1∗→,e2∗→,e3∗→){\ displaystyle (O, {\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} )}![(O, {\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2c9df5d02014779d354a682ec728cf5981816d)
applikasjon
Studiet av krystaller utføres vanligvis ved diffraksjon av stråling med en bølgelengde i størrelsesorden inter-atomavstand. Fra det oppnådde diffraksjonsmønsteret kan vi bestemme formen på gitteret, og derfor strukturen til krystallet .
Hvis vi ringer:
-
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
bølgevektoren til den innfallende strålingen;
-
k′→{\ displaystyle {\ vec {k '}}}
vektoren av bølger spredt i en gitt retning;
-
K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}
spredningsvektoren (eller diffraksjonsvektoren) definert av K→=k′→-k→{\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}}}
så blir diffraksjonstilstanden på en enkelt krystall gitt av Blochs setning :
det er diffraksjon hvis er en vektor av det gjensidige gitteret.
K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}![\ vec {K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ef2bc5a670f1adc56416fb29d02e1f9d91fa53)
Eksempler på gjensidige nettverk
For å finne det gjensidige nettverket må vi vurdere det primitive nettverket . På den annen side bruker man ikke-primitive nettverk, som sentrert kubikk (2 noder etter maske) og ansiktssentrert kubikk (4 noder etter maske).
Nettverk (parameter)
|
Gjensidig nettverk (parameter)
|
Første Brillouin-sone
|
---|
kubikk (på){\ displaystyle (a)}
|
kubikk (2π/på){\ displaystyle (2 \ pi / a)}
|
terning
|
kubikk sentrert (på){\ displaystyle (a)}
|
kubiske ansikter sentrert (4π/på){\ displaystyle (4 \ pi / a)}
|
stump
oktaeder |
kubiske ansikter sentrert (på){\ displaystyle (a)}
|
kubikk sentrert (4π/på){\ displaystyle (4 \ pi / a)}
|
rhombic dodecahedron
|
Her stilte vi på∗→⋅på→=2π.{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}} \ cdot {\ vec {a}} = 2 \ pi.}
Merknader og referanser
-
Det er to måter å definere bølgevektoren: enten er normen den , så har vi de gitte formlene; enten er normen, og vi har da:
1λ{\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda}}}
2πλ{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}
eJeg→⋅ej∗→=2πδJegj{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} = 2 \ pi \ delta _ {ij}}
og
em∗→=2πVeikke→∧es→{\ displaystyle {\ vec {e_ {m} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {e_ {n}}} \ wedge {\ vec {e_ {p} }}}
hvor ( m , n , p ) er en sirkulær permutasjon av (1, 2, 3).
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">