Kvadratrot av en matrise

I matematikk spesifiserer begrepet kvadratrot av en matrise til ringer av kvadratmatriser den generelle forestillingen om kvadratrot i en ring.

Definisjon

Være et naturlig tall n er ikke null og M en kvadratisk matrise av orden n med koeffisienter i en ring A . Et element R i M n ( A ) er en kvadratroten av M hvis R 2 = H .

En gitt matrise tillater kanskje ikke noen kvadratrot, for eksempel et endelig eller uendelig antall kvadratrøtter.

Eksempler

I M 2 ( ℝ ):

$\ begin {pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}$ er en kvadratrot av $\ begin {pmatrix} 1 & -12 \\ 0 & 4 \ end {pmatrix} \;$
den (for alle real $x$ ) er kvadratroten til $\ begin {pmatrix} 1 & x \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}$ $\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} \;$
$M = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}$ har ikke en kvadratrot R , fordi det ville pålegge (men den har noen i M 2 ( ℂ )). $0 \ le (\ det (R)) ^ 2 = \ det (R ^ 2) = \ det (M) = - 1$

I M 2 (ℂ) har matrisen ingen kvadratrot, fordi den ikke er null, men har null kvadrat (vi sier at den er nullpotent for indeks 2). Faktisk ville en kvadratrot R også være nilpotent (med null effekt 4. th ), men enhver nilpotent matrise av størrelse 2 har null kvadrat. Vi vil derfor ha M = R 2 = 0, noe som ikke er tilfelle. $M = \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}$

Omvendt

Hvis R er en kvadratroten av M da R er inverterbar hvis og bare hvis M er.

Hvis en matrise er inverterbar, er firkantrøttene til dens inverse omvendte av kvadratrøttene.

Positiv matrise

Enhver symmetrisk matrise med reelle koeffisienter er diagonaliserbar via en ortogonal passerende matrise , og den er positiv hvis og bare hvis egenverdiene er positive eller null real . Videre, hvis en matrise S er diagonaliserbar, har firkanten de samme egen underrommene (assosiert med kvadratene til egenverdiene til S ). Derfor blant de positive kvadratroten til en symmetrisk matrise M , og en positiv og en er symmetrisk: matrisen S den samme underrom renere enn M , og som har forbindelse til egenverdiene er kvadratroten til de av M . Videre, når M er positiv bestemt , så er S også.

For matriser med komplekse koeffisienter er situasjonen den samme ved å erstatte "symmetrisk" med " hermitian " og "ortogonal" med " enhet ".

Denman-Beavers beregningsalgoritme

Beregningen av en kvadratrot av en matrise A kan utføres ved konvergens av en serie matriser. La Y 0 = A og Z 0 = I hvor jeg er identitetsmatrisen . Hver iterasjon er basert på:

\ begynn {align} Y_ {k + 1} & = \ tfrac12 (Y_k + Z_k ^ {- 1}), \\ Z_ {k + 1} & = \ tfrac12 (Z_k + Y_k ^ {- 1}). \ end {align}

Konvergens er ikke garantert (selv om A har en kvadratrot), men hvis den finner sted, så konvergerer sekvensen Y k kvadratisk til A 1/2 , mens sekvensen Z k konvergerer til dens inverse, A –1 / 2 .

Kvadratrot av en positiv operatør

I operatør teorien (en) , et avgrenset operator P på en kompleks Hilbert plass er positiv (en) hvis og bare hvis det ikke finnes (minst) en avgrenset operator T slik at P = T * T , hvor T * betyr den stedfortred av T . Faktisk, hvis P er positiv, er det til og med en unik positiv operator Q (derfor selvtillagt ) slik at P = Q 2 . Denne operatoren Q oppnås ved kontinuerlig funksjonelle beregning , kalles kvadratroten av P og representerer bicommutant av P .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Square root of a matrix " ( se listen over forfattere ) .

(i) Eugene D. Denman og Alex N. Beavers , " The matrix sign function and computations in systems " , Applied Mathematics and Computation , vol. 2, n o 1,1976, s. 63–94 ( DOI 10.1016 / 0096-3003 (76) 90020-5 ).
(i) Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham , Charles S. Kenney og Alan J. Laub , " Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy " , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , vol. 22, n o 4,2001, s. 1112–1125 ( DOI 10.1137 / S0895479899364015 , les online [PDF] ).
(no) Ronald G. Douglas , Banach Algebra Techniques in Operator Theory , Springer , koll. " GTM " ( n o 179)1998, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1972) ( lese linjen ) , s. 86-87.

Relaterte artikler