Gruppeforsinkelse og faseforsinkelse

I signalbehandling , den gruppeforsinkelse eller gruppeforsinkelsen er forsinkelsen påført av et filter , i sekunder, av amplitudeomhyllingen for et smalbåndssignal . Den faseforsinkelse er den forsinkelse (i sekunder) for hver frekvenskomponent beregnet fra faseresponsen for filteret. Gruppeforsinkelse og faseforsinkelse er generelt frekvensavhengig, bortsett fra et lineært fasefilter hvis gruppe- og faseforsinkelse er konstant og begge er like.

Matematisk beregnes gruppeforsinkelse og faseforsinkelse av formlene ${\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega)}$

{\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega) \}

{\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}} \}

hvor betegner fasen av overføringsfunksjonen som en funksjon av pulsasjonen . ${\ displaystyle \ phi (\ omega)}$

Fundament

Ethvert lineært system innfører en forsinkelse (eller forsinkelse) på hver av signalets frekvenskomponenter. Med mindre systemet er lineært i fase , er denne forsinkelsen forskjellig for hver frekvenskomponent. Variasjonen av denne forsinkelsen forårsaker forvrengning av signalet (faseforvrengning) fordi hver komponent ikke er forsinket på samme måte. Disse forvrengningene ses av ikke-linearitetene til fasediagrammet til Bode-diagrammet og kan kvantifiseres ved variasjonene av gruppeforsinkelsen og faseforsinkelsen med hensyn til frekvensen.

Faseforsinkelsen har den mest direkte matematiske begrunnelsen. For en harmonisk inngang

{\ displaystyle x (t) = e ^ {i \ omega t} \}

utgangen er

{\ displaystyle {\ begin {justert} y (t) = | H (i \ omega) | \ e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)} \ \\\ end { justert}} \}

Hvis man ønsker å tolke faseskiftet i form av forsinkelse, identifiserer man seg med , noe som fører til . Ved å ignorere kongruens , finner vi ${\ displaystyle e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)}}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ left (\ omega (t- \ tau _ {\ phi} (\ omega)) \ right)}}$ ${\ displaystyle - \ omega \ tau _ {\ phi} (\ omega) = \ phi (\ omega) [2 \ pi]}$

{\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}}.}

Gruppens forplantningstid tolkes ved å vurdere flere frekvenskomponenter. Vi tar som inngangssignal en bølgepakke lokalisert i tid og frekvens rundt en puls . I frekvensdomenet kan signalet skrives som $\ omega_0$

{\ displaystyle {\ hat {x}} (\ omega) = {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0})}

hvor er Fourier-transformasjonen av konvolutten . Under antagelsen som er konsentrert rundt 0, blir utgangen fra filteret tilnærmet i frekvensområdet med ${\ displaystyle {\ hat {A}} (\ omega)}$ $A (t)$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} (\ omega)}$

{\ displaystyle {\ hat {y}} (\ omega) \ approx | H (i \ omega _ {0}) | {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0}) e ^ {i \ left [\ phi (\ omega _ {0}) + {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \, \ cdot (\ omega - \ omega _ {0} ) \ Ikke sant]}}

Man avslørte ikke begrepet rekkefølge 1 relatert til modulen som ikke er av interesse her (man ignorerer dermed forvrengningene av amplituden). Denne tilnærmingen er fortsatt skrevet: ${\ displaystyle | H (i \ omega) |}$

{\ displaystyle {\ hat {y}} (\ omega) \ approx H (i \ omega _ {0}) {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0}) e ^ {i {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \, \ cdot (\ omega - \ omega _ {0})}}

Imidlertid tilsvarer det variable uttrykket Fourier-transformasjonen av den oversatte konvolutten med gruppens forplantningstid definert av ${\ displaystyle {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0}) e ^ {i {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \, \ cdot (\ omega - \ omega _ {0})}}$ ${\ displaystyle A (t- \ tau _ {g})}$ ${\ displaystyle \ tau _ {g}}$

{\ displaystyle \ tau _ {g} = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \}

${\ displaystyle \ tau _ {g}}$ tolkes således som forsinkelsen til bølgepakken påført av filterets handling.

Se også

Bessel- filter: IIR-filter tilnærmet et lineært fasefilter
Underfasefilter : Filter som for en fast forsterkningsrespons minimerer gruppeforsinkelsen
Gruppehastighet og fasehastighet : Forplantningen av en vandrende bølge kan betraktes som handlingen til en forsinkelseslinje hvis forsinkelsesverdi avhenger av posisjonen. For en monokromatisk bølge denne forsinkelsen er med den bølgetallet , fasehastigheten og avstanden til planet i retning av bølgevektor. I dette tilfellet er fasehastigheten avstanden delt på faseforsinkelsen. Likeledes er gruppens hastighet delt på gruppens forplantningstid. ${\ displaystyle {\ frac {d} {v _ {\ phi} (\ omega)}} = {\ frac {k (\ omega) d} {\ omega}}}$ ${\ displaystyle k {(\ omega)}}$ $v _ {\ phi}$ $d$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$ $d$ $d$

Referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Group delay and phase delay " ( se listen over forfattere ) .