Sirkulært segment

I geometri er et sirkulært segment en del av en plate intuitivt definert som et domene som "kuttes" fra resten av platen med et akkord (secant line). Det sirkulære segmentet utgjør derfor delen mellom sekantlinjen og en bue.

La (se figur):

$R$ den radiusen av sirkelen;
$\ theta$ vinkelen i radianer av sirkulær sektor ;
$s$ lengden på buen;
$vs.$ lengden på tauet;
$h$ høyden på segmentet;
$d$ høyden på den trekantede delen .

Så:

lengden på buen er ; $s = R \ theta$
lengden på tauet er ; ${\ displaystyle c = 2R \ sin (\ theta / 2) = 2 {\ sqrt {(}} 2hR-h ^ {2})}$
høyden på den trekantede delen er ; ${\ displaystyle d = R \ cos (\ theta / 2)}$
høyden er ; ${\ displaystyle h = Rd = R {\ big (} 1- \ cos (\ theta / 2) {\ big)}}$
det området er . ${\ displaystyle A = {\ frac {R ^ {2}} {2}} \ left (\ theta - \ sin \ theta \ right)}$

Demonstrasjon av områdeformelen

Det totale arealet av platepartiet er verdt . Det kan også uttrykkes som summen av to områder: det ,, av det sirkulære segmentet (i grønt) og det ,, av trekanten som utgjør den andre delen. Så vi har: ${\ displaystyle S = {\ frac {\ theta} {2}} R ^ {2}}$ $PÅ$ $A_1$

{\ displaystyle A = S-A_ {1}}

Arealet av trekanten er:

{\ displaystyle A_ {1} = {\ frac {1} {2}} \ times {\ textrm {base}} \ times {\ textrm {height}} = {\ frac {1} {2}} \ times c \ ganger d = {\ frac {1} {2}} \ ganger 2R \ sin (\ theta / 2) \ ganger R \ cos (\ theta / 2) = {\ frac {R ^ {2}} {2} } \ ganger 2 \ sin (\ theta / 2) \ cos (\ theta / 2) = {\ frac {R ^ {2}} {2}} \ sin {\ theta}}

på grunn av dobbel vinkelformler .

Til slutt finner vi: . ${\ displaystyle A = S-A_ {1} = {\ frac {\ theta} {2}} R ^ {2} - {\ frac {R ^ {2}} {2}} \ sin {\ theta} = {\ frac {R ^ {2}} {2}} (\ theta - \ sin {\ theta})}$