Areal (geometri)

I matematikk er området en størrelse i forhold til visse figurer av planet eller overflater i geometri i rommet .

Utviklingen av dette matematiske begrepet er knyttet til rasjonalisering av beregningen av størrelsen på jordbruksområder, ved hjelp av kartmålingsteknikker . Denne evalueringen, sammen med en måleenhet, blir i dag referert til som et område .

Uformelt gjør området det mulig å uttrykke et størrelsesforhold for en figur i forhold til en enhet, ved hjelp av kutt og oppliminger, forskyvninger og reverseringer og passering til grensen ved tilnærming. Mål på et område kan være et positivt reelt tall eller være uendelig for noen overflater, for eksempel flyet som helhet.

Forskjellige teknikker er utviklet for å måle et område, fra indivisibles-metoden til integrert kalkulator og sannsynlighetsmetoder som Monte-Carlo-metoden .

Formell definisjon

I et todimensjonalt euklidisk rom har et domene et område hvis det er et målbart sett for Jordans mål og dets område er lik dette tiltaket.

Eiendommer

Arealet S på en plan overflate følger fire egenskaper:

  1. Arealet av en avgrenset plan overflate er et positivt tall eller nulltall .
  2. En lengdeenhet som velges, arealet av kvadratet til side 1 er lik 1.
  3. Området er additivt . Dette betyr at når områdene til to usammenhengende overflater A og B blir gitt, er området deres forening summen av deres områder: S ( A ∪ B ) = S ( A ) + S ( B ). Denne egenskapen kan tolkes som følger: hvis vi "kutter ut" en figur, får vi to figurer hvis sum av arealene er lik arealet til den opprinnelige figuren.
  4. Området er uforanderlig etter isometri . Dette betyr at en figur kan flyttes eller vendes uten å endre området.

Additivitetsegenskapen utvides, ved induksjon , til et hvilket som helst naturlig tall n som er større enn noen to: hvis A 1 , A 2 ... A n er to-to-to sammenflater av respektive områder S ( A 1 ), S ( A 2 )… S ( A n ), da

S ( A 1 ∪ A 2 ∪… ∪ A n ) = S ( A 1 ) + S ( A 2 ) +… + S ( A n )

som er merket strengere:

Men denne endelige additivitetsegenskapen er ikke nok, om ikke bare for å bevise formelen for beregning av arealet til en plate (se nedenfor). Den utvides derfor til en uendelig tellbar familie av plane flater ( A n ) n ∈ N ∗ to og to sammenhenger hvis områder antas å være kjent, med resultatet analogt med det forrige:

Vi snakker da om σ-additivitet ("  sigma-additivity  ").

Arealberegning

En lengdeenhet (betegnet 1u.l.) som ble valgt tidligere, definerer vi arealeenheten (betegnet 1u.a.) med 1u.a. = (1u.l.) 2 . Alle områdene måles i arealeenheter. Den grunnleggende figuren for å beregne et areal er enhets kvadrat , med side 1u.l. ; det gjør det mulig å beregne arealet av rektangelet . Ved å bruke arealet av rektangelet er det mulig å bestemme arealet til en høyre trekant (sett på som et halvt rektangel) eller et parallellogram , deretter det for en hvilken som helst trekant og derfor av hvilken som helst polygon .

Formelen for området på en disk er mer komplisert å demonstrere: den krever at du går gjennom en fortsettelsesgrense . Ideen om suksessivt å nærme seg en kompleks overflate med en serie enklere overflater (generelt, rektangler eller polygoner) er grunnleggende. En overflate som kan "rettes" opp av rektangler, til det punktet at man kan trekke sitt areal fra den ved en grenseberegning, sies å være quarrable .

I visse tilfeller kommer analyse til hjelp for geometri når resonnement ved kutting og liming ikke lenger er tilstrekkelig. Noen arealberegninger krever bruk av integraler (begrepet "areal under kurven"), som noen ganger kan beregnes ut fra primitivene til en funksjon .

Andre tilfeller er mer patologiske  : matematikere har etablert en teori for måling for å generalisere resultatene på områder. For fraktaler er områdene ikke beregningsbare - eller utilfredsstillende. Hausdorffs forestilling om dimensjon generaliserer areal for et planfraktalt objekt.

Vanlige overflater

Nedenfor er gitt de vanligste vanlige områdeberegningsformlene og demonstrasjonene, som illustrerer den geometriske resonnementet som ofte brukes til å løse områdeproblemer: "klipp og lim inn", noen ganger ved å forestille seg et uendelig antall stiklinger etter grensehensyn.

Rektangel

Areal av et rektangel  -  Arealet av et rektangel er lik produktet av lengden ganger bredden.

Demonstrasjon

Et rektangel hvis lengde og bredde er lik heltallene m og n kan sees som sammensatt av m linjer som hver inneholder n enhetsruter. Arealet er derfor lik m × n .

Hvis dimensjonene til rektangelet er m / p og n / q brøk , anser vi at vi har "kuttet" rektangelet av dimensjonene m og n til p like deler, så hver av disse delene igjen i q like store deler. Rektangelet med dimensjonene m og n inneholder derfor p × q ganger dimensjonene m / p og n / q . Arealet til dette siste rektangelet er derfor likm/s × ikke/q.

Dette resultatet er generalisert i tilfelle hvor lengden og bredden på rektangelet er reelle tall , men resonnementet er mer abstrakt: det krever en passering til grensen, ved å anse at ethvert reelt tall er grensen for en serie rasjonelle tall .

Spesielt tilfelle av torget

Et kvadrat er et rektangel hvis lengde og bredde er lik det samme nummeret som kalles siden av torget. Et kvadrat med siden c har et areal lik c × c , som er betegnet med c 2 . Omvendt kan et hvilket som helst tall i formen c 2 (hvor c er positivt) betraktes som arealet av et kvadrat med siden c , noe som forklarer at c 2 leser "  c kvadrat" eller "kvadratet av c  ".

Triangel

Den vanligste formelen for beregning av arealet til en trekant er:

Areal av en trekant  -  Arealet av en trekant er halve produktet av basen og høyden.

Enhver rettvinklet trekant hvis katetre (eller kortsider) måler a og b, kan betraktes som halvparten av et rektangel med dimensjonene a og b delt inn i to av en av diagonalene. Arealet til denne høyre trekanten er derfor lik .

Mer generelt er enhver høydetrekant av en trekant h og tilhørende side b (i dette tilfellet siden kalles base ) halvparten av et rektangel med dimensjonene h og b , noe som gir den klassiske formelen for beregning av d 'areal av En trekant:

Andre metoder gjør det mulig å beregne arealet av en trekant og derav arealet til hvilken som helst polygon ved å bruke det faktum at en hvilken som helst polygon kan deles inn i et endelig antall trekanter. Spesielt ved å dele en vanlig polygon i trekanter hvis toppunkt er dens sentrum, får vi de vanlige formlene for å beregne arealet til en vanlig polygon .

Disk

Theorem  -  Arealet av en skive med radius R er lik væreTI x R 2 .

Vi overbeviser oss selv om dette resultatet ved å dele disken i et vilkårlig stort antall trekanter.

Ved å ta hensyn n punktene A 1 , A 2 ... A n lik avstand på en sirkel med sentrum O og radius R , får vi en regulær mangekant med n sider består av n likebeint trekant med det samme område OA 1 A 2 , OA 2 A 3 osv. Arealet til den vanlige polygonen er derfor n ganger arealet til en av disse trekantene. Hvis høyden på hver av trekantene er h n , er arealet til hver trekant1/2h n × A 1 A 2 . Ved å multiplisere med n er arealet av polygonen derfor lik halvparten av høyden h n multiplisert medpolygonets omkrets . Når antallet n av punkter har en tendens mot uendelig, har høyden h n en tendens til R , og omkretsen av polygonet mot sirkelens, det vil si 2π R , som gir det kunngjørte resultatet.

Å vite sirkelens radius, en annen metode, brukt av Archimedes, består i å dele platen i sektorer , som vist i figuren til høyre.

Hver sektor har omtrent trekantet form, og sektorene kan omorganiseres for å danne et parallellogram. Høyden på dette parallellogrammet er r , og bredden er halv sirkelens omkrets, eller π r . Dermed er diskens totale areal π r 2

Selv om denne metoden for å dele inn i sektorer bare er en tilnærming, blir feilen mindre og mindre etter hvert som sirkelen er delt inn i flere sektorer. Den grense for summen av arealene av de omtrentlige parallellogrammene er nøyaktig π r 2 , som er det totale areal av skiven.

Integrert

Det euklidiske planet er forsynt med et ortonormalt koordinatsystem for en positiv og kontinuerlig numerisk funksjon f , Riemann-integralen av f over et intervall [ a  ; b ] lar deg enkelt uttrykke området av domenet avgrenset av:

Dette området er da verdt I (1u.a.) der tallet I betegner integralet

NB Når det kartesiske koordinatsystemet ikke lenger er oralt, vil målingen av den forrige overflaten (arealet) være lik I (Mu.a.) der Mu.a betegner området til "elementærcellen" til koordinatsystemet (c 'dvs. arealet av parallellogrammet bygget på de to basisvektorene i koordinatsystemet): integralet tilsvarer derfor mengden "elementære celler" som finnes i den målte overflaten.

Dette området kan vurderes ved hjelp av numeriske metoder ved å nærme seg området under kurven med vanlige overflater: spesielt rektangler eller trapeser . I visse tilfeller gjør en grenseberegning det mulig å bestemme den nøyaktige verdien av integralen ved å resonnere som den som er brukt ovenfor for platen.

Et resonnement som kombinerer hensyn til områder og differensialregning gjør det mulig å bevise det

der F er et antiderivativ av f over [ a  ; b ] . Å kjenne primitivene til en funksjon gjør det således mulig å utvide settet med kalkulerbare områder med "divisjon" sett tidligere.

Dermed resonnerer områdene og differensialregningene og beriker hverandre. Arealberegninger har derfor innvirkning på mange matematikkområder, gjennom integraler, inkludert sannsynligheter eller statistikk ved å beregne gjennomsnittsverdien til en funksjon.

Monte Carlo-metoden

Hvis beregningen av områder gjør det mulig å forbedre kunnskapen om sannsynligheter via integraler, er det motsatte også sant. La en overflate S , hvis område er kjent, som inneholder en annen, L med ukjent område. Den metode for Monte Carlo involverer sending av vilkårlige punkter i S . Det er da det totale antall n S poeng og antall n L som er funnet, ved en tilfeldighet , i L . Det er sannsynlig at forholdet mellom områdene l og S ligger i nærheten av forholdet mellom n L i n S . Feilmarginen vil være statistisk desto mindre da antall poeng n S er stort.

Område problemer

Kvadrat sirkelen

Ett problemområde har overlevd århundrene, i hvert fall siden Anaxagoras ( V -  tallet  f.Kr. ) Fram til 1882, da Ferdinand von Lindemann beviste at π er et transcendentalt tall  : det å kvadrere sirkelen som består i å konstruere, med en linjal og et kompass. , et kvadrat med areal som tilsvarer det for en gitt disk.

Forvirring mellom område og omkrets

Den omfang er, med det område, en av de to viktigste mål på plane geometriske figurer. Til tross for at de ikke kommer til uttrykk i samme enhet, er det vanlig å forvirre disse to forestillingene eller å tro at jo større en er, jo mer er den andre også. Faktisk øker (eller reduserer) forstørrelsen (eller reduksjonen) av en geometrisk figur samtidig (eller reduserer) arealet og omkretsen. For eksempel, hvis et stykke land vises på et kart i en skala fra 1: 10.000, kan den faktiske omkretsen av landet beregnes ved å multiplisere representasjonens omkrets med 10 000 og området ved å multiplisere representasjonen med 10 000 2 . Imidlertid er det ingen direkte kobling mellom området og omkretsen av noen figur. For eksempel kan et rektangel med et areal lik en kvadratmeter ha dimensjoner, i meter: 0,5 og 2 (derfor en omkrets lik 5  m ), men også 0,001 og 1000 (derfor en omkrets på mer enn 2000  m ). Proclus ( V th  århundre ) rapporterer at greske bønder har delt "rettferdig" felt langs deres omkrets, men med ulike områder. Produksjonen av et felt er imidlertid proporsjonalt med området, ikke til omkretsen: noen naive bønder har klart å skaffe felt med lange omkretser, men et middelmådig område (og derfor en høst).

Isoperimetri, minimumsareal

Isoperimetri omhandler spesielt spørsmålet om å finne størst mulig overflate, for en gitt omkrets. Svaret er intuitivt, det er disken . Dette forklarer hvorfor spesielt øynene på overflaten av en buljong har en sirkulær form.

Dette tilsynelatende uskadelige problemet krever sofistikerte teorier for å oppnå en streng demonstrasjon. Det isoperimetriske problemet forenkles noen ganger ved å begrense de autoriserte overflatene. For eksempel ser vi etter firesiden eller trekanten med størst mulig område, alltid etter en gitt omkrets. De respektive løsningene er kvadratet og den likesidige trekanten . Generelt er polygonet med n hjørner som har det største arealet, ved en gitt omkrets, det som kommer nærmest sirkelen , det er den vanlige polygonen .

Isoperimetri er ikke begrenset til disse spørsmålene. Vi søker også et så stort område som mulig for en gitt omkrets, med forskjellige geometrier. For eksempel, når det gjelder et halvplan , er svaret halvdisken.

Dette konseptet gir opphav til en familie av teoremer, kjent som isoperimetrisk , til økninger kjent som isoperimetriske ulikheter , samt til en relasjon, kalt isoperimetrisk kvotient . Den isoperimetriske ulikheten indikerer at en overflate med omkrets p og area a tilfredsstiller følgende økning:

Begrepet til venstre, kalles isoperimetrisk kvotient, det er lik 1 hvis, og bare hvis overflaten er en disk.

Hvis opprinnelsen til dette spørsmålet er minst 2900 år gammelt, var det først i 1895 , ved hjelp av metoder hentet fra Minkowskis teorem, at spørsmålet ble definitivt løst i sin eldgamle form. Disse metodene gjør det mulig å bevise den isoperimetriske setningen og å generalisere den til høyere dimensjoner når det gjelder euklidisk geometri .

Problemet med isoperimetri i tredimensjonalt rom består i å finne det største volumet som finnes i en overflate av et gitt område. Svaret er sfæren , som spesielt resulterer i form av såpebobler .

Se artikkelen isoperimetry for de grunnleggende aspektene ved dette spørsmålet. Noen svar, som bruker mer sofistikerte matematiske verktøy, er foreslått i artikkelen The isoperimetric theorem .

En minimal overflate er en overflate av tredimensjonalt rom som under visse begrensninger minimerer området i nærheten av hvert av punktene. Dette betyr at en liten variasjon i dette området gjør området større. For et gitt sett med begrensninger kan det være flere minimale overflater. De minimale overflatene tas spontant av en såpefilm som hviler på en ramme fordi slike overflater også minimerer kreftene som utøves på filmen. Jakten på slike overflater kalles i matematikk Plateau problem , krever det resonnement av differensial kalkulus .

Stor overflate

Motsatt oppstår problemet med å skaffe, for et gitt volum, figuren med størst mulig overflateareal. En matematisk enkel løsning eksisterer: en overflate uten tykkelse har null volum. Slike former finnes i naturen: et grønt planteblad er vanligvis veldig tynt, men bredt, for å eksponere størst mulig overflate for solen for å fremme fotosyntese . Men et stort område av bladbladet på bladet fremmer også transpirasjon , planter som må kjempe mot perioder med tørke ( furu , kaktus osv.) Har ofte tykkere blader for å redusere overflatearealet og kjemper derfor mot uttørking.

En annen mulig strategi er å ta en solid og bore den med et stort antall hull. For eksempel er Menger-svampen konstruert av en terning som er delt inn i tre like skiver langs hver av de tre dimensjonene. Dette gir tjuefem like kuber, så fjerner vi de sentrale kubene. Vi får da et nytt fast stoff, med lavere volum og større areal enn det forrige, bestående av tjue kuber. Deretter gjentar vi den samme prosessen for hver av disse tjue kubene, så igjen for kubene som er oppnådd osv. Ved å gjenta prosessen på ubestemt tid, får vi et fraktalt objekt som har et uendelig område og et volum som er lik null, mens vi har dimensjoner (lengde, bredde, dybde) som er like store som startkuben. Svært innrykkede former som Mengers svamp finnes i naturen når det gjelder å fremme utveksling mellom to miljøer: for eksempel lungene til pattedyr (for å maksimere gassutveksling i et redusert volum), gjeller , tarm ...

Den spesifikke overflaten til et materiale er dens overflate per masseenhet: jo større den spesifikke overflaten, jo mer objektet kan bytte med omgivelsene, jo mer porøs er det. Spesielt er spesifikt overflateareal en viktig fysisk egenskap ved jord , som bestemmer dens evne til å beholde næringsstoffer og bytte dem ut med planter.

Historie

Den høye antikken

Ifølge herodotus , geometri i det gamle Egypt oppsto i behovet for å likt distribuere overflatene av dyrket mark etter flom av Nile . Egypterne kjente til de vanlige formlene for å beregne områdene av polygoner, og de fleste geometriproblemer som er bevart fra denne perioden, gjelder problemer i områder.

I Babylon ble arealet A beregnet fra omkretsen P av en sirkel ved hjelp av en prosedyre som tilsvarer formelen:

Selv når de visste diameteren på en sirkel, gikk de skriftlærde alltid gjennom beregningen av omkretsen (ved å multiplisere diameteren med 3) for deretter å få sitt areal. Fremgangsmåten var som følger, som i dette eksemplet, hentet fra å løse et problem der det blir bedt om å bestemme volumet til en sylindrisk stokk hvis diameter var 1 +2/3 :

Babylonisk metode  -  Triple 1 +2/3, toppen av stokken, og 5, stokkenes omkrets, kommer. Ta firkanten på 5 og 25 kommer. Multipliser 25 med1/12, konstanten, og 2 +1/12, området, vil komme.

I Egypt ble beregningen gjort fra diameteren D  :

Begrunnelsen var sannsynligvis å skrive en åttekant og en sirkel på en firkant . Figuren illustrerer overfor dette resonnement: hvis plassen er for side diameteren D av skiven, åttekanten bygget på den tredje av siden av kvadratet har et areal

.

Området på platen anses å være litt større enn åttekantet, dvs.

.

antikkens Hellas

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 ab ved å resonnere på ruter. Denne formelen var allerede kjent for Archimedes .

Arabisk-muslimsk verden

I sin Abrégé du Calcul par la Restauration et la Comparison analyserer og løser Al- Khwârizmî de kvadratiske ligningene ved geometriske betraktninger på kvadrater, og fortsetter i denne tradisjonen med geometrisk algebra som dateres tilbake til antikken.

Område

Det område av en gulvflate eller en flate eller venstre fysisk overflate er dets fysiske mål uttrykkes i en måleenhet . Den tilsvarende enheten til det internasjonale systemet er kvadratmeteren eller en av dens multipler eller submultipler, for eksempel arer eller hektar .

Denne målingen blir noen ganger referert til av begrepet "overflate" i seg selv, som deler samme etymologi.

Beregninger av areal knyttet til begrepet jordbruksutbytte og skattemessig beskatning motiverte begrepet areal i geometri . Modelleringen av et terreng med en enkel geometrisk overflate gjør det mulig å evaluere området effektivt.

Området med administrative enheter (for eksempel i Frankrike, kommunen , en avdeling osv.) Kan ta flere forskjellige verdier avhengig av om det måles ved å begrense seg til land eller ved å ta hensyn til vannområder .

Merknader og referanser

  1. Zalgaller Kudryavtsev .
  2. Faraut 2006 , Forord.
  3. Dette er for eksempel de tre som blir tilbakekalt i Faraut 2006 , Forord.
  4. Perrin .
  5. Bruken av dette datatermet for en praksis som dateres i det minste fra den paleo-babylonske perioden kan virke underlig, men det er bevist i Christine Proust , "  Hoyrup, 2002  ", Éducmath ,2007( les online ).
  6. En demonstrasjon av hel- og brøktilfeller, basert på eksempler, finnes i Garveri 1903 , s.  93-94. For en mer fullstendig versjon, se Perrin , s.  9.
  7. Perrin , s.  9.
  8. Amiot 1870 , s.  159.
  9. Amiot 1870 , s.  160.
  10. Amiot 1870 , s.  162-163.
  11. Se et lignende resonnement for eksempel i Garveri 1903 , s.  100-101 .
  12. Andre mer generelle definisjoner eksisterer. Dette er spesielt det som ble gitt av Mathematics Teaching Program i det siste året av den vitenskapelige serien i Frankrike (dekret 20-7-2001. Publisert i EUT 4-8-2001 , s.  67).
  13. Matematikkundervisningsprogram i sluttklasse for den vitenskapelige serien i Frankrike (dekret 20-7-2001. Publisert i EUT 4-8-2001 , s.  67).
  14. Garveri 1903 , s.  277 og følgende for en komplett presentasjon med demonstrasjoner.
  15. Collette, bind 1 , s.  55.
  16. Dominique Barataud, "  Area and perimeter  " , utdanningsaktivitetsfil produsert av den nasjonale tenketanken om undervisning i matematikk i stafettanlegg , på http://eduscol.education.fr/ .
  17. (in) Thomas Little Heath , A History of Greek Mathematics , Vol.  2: Fra Aristarchus til Diophantus , Dover ,2013( 1 st  ed. 1921) ( ISBN  978-0-48616265-2 , lese på nettet ) , s.  206.
  18. Bernard Teissier , “  Volumes des corps convexes, géométrie et algebre  ” , om Jussieu Mathematics Institute (leksjon gitt torsdag 7. oktober 1999, skrevet av C. Reydy), s.  2 .
  19. "  Det isoperimetriske problemet  " , på IREM d'Orléans , s.  2 .
  20. "Det isoperimetriske problemet", på IREM d'Orléans , s.  1.
  21. Teissier 1999 , s.  6.
  22. Troyanov 2009 , s.  318, 336.
  23. Se Hva er et minimalt område? , videoer av Discovery Palace .
  24. Hopkins 2003 , s.  159.
  25. Hopkins 2003 , s.  148-149.
  26. Versteegh et al. 2005 , s.  73.
  27. Hopkins 2003 , s.  78.
  28. Joseph et al. 2009 , c.  21.
  29. Dahan-Dalmedico og Pfeiffer , s.  120-121.
  30. Collette, bind 1 , s.  41-42.
  31. Gratis oversettelse og tilpasning fra Robson 2008 , s.  65.
  32. Collette, bind 1 , s.  95
  33. Tabell over SI-enheter avledet på nettstedet til International Bureau of Weights and Measures .
  34. "Surface", Historical Dictionary of the French language , Dictionnaires Le Robert 1992.

Se også

Relaterte artikler

Bibliografi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">