Von Neumann stabilitet

I numerisk analyse er von Neumanns stabilitetsanalyse en metode for å verifisere den numeriske stabiliteten til skjemaer ved å bruke den endelige differensjonsmetoden for partielle differensiallikninger . Denne analysen er basert på nedbrytningen av Fourier serienummerfeil og ble utviklet ved Los Alamos National Laboratory etter å ha blitt kort beskrevet i en artikkel av Crank og Nicolson. Metoden ble senere behandlet strengere i en artikkel medforfatter av von Neumann .

Numerisk stabilitet

Stabiliteten til et digitalt diagram er nært knyttet til den digitale feilen. Et endelig differansediagram sies å være stabilt hvis feilene som er gjort i et tidstrinn, ikke øker feilene over gjentakelsene. Hvis feilene avtar og til slutt forsvinner, sies den digitale ordningen å være stabil. Hvis tvert imot feilen øker med hver iterasjon, sies det at diagrammet er ustabilt. Stabiliteten til et mønster kan bestemmes ved hjelp av von Neumann-analyse. For tidsavhengige problemer, sikrer stabilitet at en numerisk metode produserer en avgrenset løsning når løsningen av den eksakte differensialligningen er avgrenset. Stabiliteten til et diagram kan være vanskelig, spesielt når den vurderte ligningen er ikke-lineær .

I noen tilfeller er von Neumann-stabiliteten tilstrekkelig og nødvendig for stabiliteten i Lax-Richtmyer-forstand (som brukt i Laxs teorem ): PDE og det endelige differensskjemaet er lineært; EDP har konstante koeffisienter med periodiske grensebetingelser og avhenger av to uavhengige variabler; og ordningen bruker ikke mer enn to tidsnivåer. Von Neumann-stabilitet er nødvendig i et mye bredere utvalg av tilfeller. Den relative enkelheten til denne metoden betyr at den ofte brukes i stedet for en mer detaljert stabilitetsanalyse for å gi en god ide om begrensningene i trinnstørrelser.

Illustrasjon av metoden

Von Neumann-metoden er basert på nedbrytningen av feilen i Fourier-serien . For å illustrere denne prosedyren, vurder den endimensjonale varmelikningen

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}}

definert på , som i dette tilfellet kan diskresiseres som følger $L$

{\ displaystyle \ quad (1) \ qquad u_ {j} ^ {n + 1} = u_ {j} ^ {n} + r \ left (u_ {j + 1} ^ {n} -2u_ {j} ^ {n} + u_ {j-1} ^ {n} \ høyre)}

eller

{\ displaystyle r = {\ frac {\ alpha \, \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}}}

og løsningen av den diskrete ligningen tilnærmer den analytiske løsningen av PDE på rutenettene. ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ $u (x, t)$

Definer avrundingsfeilen med ${\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n} = N_ {j} ^ {n} -u_ {j} ^ {n}}

hvor er løsningen av den diskretiserte ligningen (1) som vil bli implementert i fravær av avrundingsfeil, og er den numeriske løsningen oppnådd ved endelig aritmetisk presisjon . Ettersom den nøyaktige løsningen må verifisere den diskretiserte løsningen, må feilen også verifisere den diskretiserte ligningen. Så ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {j} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {j} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ quad (2) \ qquad \ epsilon _ {j} ^ {n + 1} = \ epsilon _ {j} ^ {n} + r \ left (\ epsilon _ {j + 1} ^ {n} -2 \ epsilon _ {j} ^ {n} + \ epsilon _ {j-1} ^ {n} \ right)}

er en gjentakelsesrelasjon for feilen. Ligningene (1) og (2) viser at feilen og den numeriske løsningen har samme oppførsel som en funksjon av tiden. For lineære differensiallikninger med periodiske grensebetingelser, kan den romlige variasjonen av feilen spaltes til en endelig Fourier-serie over intervallet , ved $L$

{\ displaystyle \ quad (3) \ qquad \ epsilon (x) = \ sum _ {m = 1} ^ {M} A_ {m} e ^ {ik_ {m} x}}

der bølgetallet med og . Tidsavhengigheten av feilen er inkludert forutsatt at størrelsen på feilen er en funksjon av tiden. Å vite at feilen har en tendens til å øke eller avta eksponentielt med tiden, er det rimelig å anta at amplituden varierer eksponentielt med tiden; fra hvor ${\ displaystyle k_ {m} = {\ frac {\ pi m} {L}}}$ ${\ displaystyle m = 1,2, \ ldots, M}$ ${\ displaystyle M = L / \ Delta x}$ $Er$

{\ displaystyle \ quad (4) \ qquad \ epsilon (x, t) = \ sum _ {m = 1} ^ {M} e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x}}

hvor er en konstant. $på$

Siden ligningen av feilforskjellene er lineær, er det tilstrekkelig å vurdere veksten av feilen for et valgt begrep:

{\ displaystyle \ quad (5) \ qquad \ epsilon _ {m} (x, t) = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x}}

Stabilitetsegenskapene kan studeres ved hjelp av denne feilformen, uten tap av generalitet. For å finne variasjonen av feilen som en funksjon av tid, erstatter vi ligning (5) i ligning (2), etter å ha lagt merke til at

${\ displaystyle {\ begin {align} \ epsilon _ {j} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} x} \\\ epsilon _ {j} ^ {n + 1} & = e ^ {a (t + \ Delta t)} e ^ {ik_ {m} x} \\\ epsilon _ {j + 1} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} (x + \ Delta x)} \\\ epsilon _ {j-1} ^ {n} & = e ^ {at} e ^ {ik_ {m} (x- \ Delta x)}, \ end {justert} }}$

å ankomme (etter forenkling)

{\ displaystyle \ quad (6) \ qquad e ^ {a \ Delta t} = 1 + {\ frac {\ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ left (e ^ {ik_ {m } \ Delta x} + e ^ {- ik_ {m} \ Delta x} -2 \ høyre).}

Bruker følgende identiteter

{\ displaystyle \ qquad \ cos (k_ {m} \ Delta x) = {\ frac {e ^ {ik_ {m} \ Delta x} + e ^ {- ik_ {m} \ Delta x}} {2}} \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ sin ^ {2} {\ frac {k_ {m} \ Delta x} {2}} = {\ frac {1- \ cos (k_ {m} \ Delta x )} {2}}}

vi kan omskrive (6) som

{\ displaystyle \ quad (7) \ qquad e ^ {a \ Delta t} = 1 - {\ frac {4 \ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2)}

Definer amplitudefaktoren

{\ displaystyle G \ equiv {\ frac {\ epsilon _ {j} ^ {n + 1}} {\ epsilon _ {j} ^ {n}}}}

Den nødvendige og tilstrekkelige forutsetningen for at feilen skal forbli begrenset er imidlertid ${\ displaystyle \ green G \ green \ leq 1.}$

{\ displaystyle \ quad (8) \ qquad G = {\ frac {e ^ {a (t + \ Delta t)} e ^ {ik_ {m} x}} {e ^ {at} e ^ {ik_ {m } x}}} = e ^ {a \ Delta t}}

Fra ligningene (7) og (8) utledes vi således at stabilitetsbetingelsen er gitt av

{\ displaystyle \ quad (9) \ qquad \ left \ vert 1 - {\ frac {4 \ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2) \ høyre \ vert \ leq 1}

For at ovennevnte tilstand skal være sant for alt , har vi det ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (k_ {m} \ Delta x / 2)}$

{\ displaystyle \ quad (10) \ qquad {\ frac {\ alpha \ Delta t} {\ Delta x ^ {2}}} \ leq {\ frac {1} {2}}}

Ligning (10) gir stabilitetsbetingelsen for FTCS-skjemaet som brukes på den endimensjonale varmeligningen. Hun sier at verdien for en gitt må være liten nok til å verifisere ligning (10). $\ Delta x$ $\ Delta t$

Referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Von Neumann stabilitetsanalyse " ( se listen over forfattere ) .

(in) Eugene Isaacson og Herbert Bishop Keller (in) , Analyse av numeriske metoder , Dover ,1994, 576 s. ( ISBN 978-0-486-13798-8 , leses online ) , s. 523-530
(in) J. Crank og P. Nicolson , " A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type " , Proc. Camb. Phil. Soc. , vol. 43,1947, s. 50-67 ( DOI 10.1007 / BF02127704 )
(i) JG Charney , R. Fjørtoft og J. von Neumann , " Numerical Integration of the barotropic Vorticity Equation " , Tellus , vol. 2,1950, s. 237-254 ( DOI 10.1111 / j.2153-3490.1950.tb00336.x )
(in) GD Smith , numerisk løsning på partielle differensiallikninger: Endelige forskjellsmetoder , 1985, 3 e ed. , s. 67-68
(in) Anderson, JD, Jr. (in) , Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications , McGraw-Hill ,1994