I numerisk analyse er den endelige forskjellsmetoden en vanlig teknikk for å finne omtrentlige løsninger av partielle differensiallikninger som består i å løse et system av relasjoner (digitalt diagram) som knytter verdiene til ukjente funksjoner på bestemte punkter tilstrekkelig nær hverandre. .
Denne metoden ser ut til å være den enkleste å implementere fordi den fortsetter i to trinn: på den ene siden diskretiseringen ved endelige forskjeller mellom operatørene for avledning / differensiering, på den annen side konvergensen til det numeriske diagrammet som er oppnådd når avstanden mellom poeng avtar.
En diskretisering av differensialoperatørene (første derivater, sekunder osv., Delvis eller ikke) kan oppnås ved Taylors formler .
Taylor-Young- formuleringen er å foretrekke i sin enkle bruk, Taylor-formuleringen med Laplace integrert rest gjør det mulig å måle feilene (jf. Nedenfor).
Ved et punkt x og for en verdi h av diskretiseringstrinnet slik at u er tre ganger differensierbar over intervallet [ x - h , x + h ] , fører Taylor-Young-formelen til to relasjoner:
der de to funksjonene ε i ( x , h ) konvergerer til 0 med h . Derfor
svarer til to tilnærmede verdier for u ( x ) til en st orden time .
Ved å trekke den foregående utviklingen, som tilsvarer å ta gjennomsnittet av de to endelige forskjellene fremre og bakre til u ( x ) , får vi
som er en tilnærming til u ( x ) av 2 e rekkefølge h .
Desenterte tilnærminger Oppstrøms offsetVed et punkt x og for en verdi h av diskretiseringstrinnet slik at u er tre ganger differensierbar over intervallet [ x , x + 2 h ] , fører Taylor-Young-formelen til forholdet:
der funksjonen konvergerer til 0 med h . Derfor
svarer til en tilnærmelse av u ( x ) til en st orden time .
Ved å gjenta operasjonen for en nedstrøms offset, skriver du at:
fra hvor
som er en tilnærming u '' ( x ) på 2 e rekkefølge h .
Formler utvidet til påfølgende ordrerVed å utvide sjablongens størrelse er det mulig å bestemme endelige forskjeller på høyere ordrer ved lignende metoder (øke rekkefølgen i Taylors formel og bestemme en passende lineær kombinasjon for å avbryte overflødige termer).
For eksempel, ved et punkt x og for en verdi h av diskretiseringstrinnet slik at u er fire ganger differensierbar over intervallet [ x - 2 h , x + 2 h ] , ved utvidelse av Taylor-formelen, kan vi vise enn fem punktdiagrammer
er tilnærminger av første og andre derivater av rekkefølge 4.
Utvidelse til multivariate funksjoner Oppstrøms offsetVed et punkt ( x , y ) og for en verdi h av diskretiseringstrinnet (det samme i de to dimensjonene) slik at u ( x , y ) er 4 ganger differensierbar på rektangelet [0, x + 2 h ] × [ 0, y + 2 h ] , kan vi skrive
som er en tilnærming til Laplacian Δ u ( x , y ) av 2 e rekkefølgen h (jf. ligning av Laplace og Poissons ligning ).
Sentrert sjablongVed et punkt ( x , y ) og for en verdi h av diskretiseringstrinnet (det samme i de to dimensjonene) slik at u ( x , y ) er 4 ganger differensierbar på rektangelet [ x - h , x + h ] × [ y - h , y + h ] , vi kan skrive
som er en tilnærming til Laplacian Δ u ( x , y ) av 2 e rekkefølgen h (jf. ligning av Laplace og Poissons ligning ).
Begrepet "ordre" nevnt ovenfor tilsvarer et begrep om lokal konvergens av den diskretiserte operatøren. Global konvergens av den diskrete løsningen er et helt annet konsept, selv om det er et familieforhold mellom de to.
For den endelige forskjellsmetoden er et maske et sett med isolerte punkter (kalt noder ) lokalisert i definisjonsdomenet for funksjonene som er underlagt de delvise differensiallikningene, et rutenett på de eneste nodene som er definert, de ukjente som tilsvarer den omtrentlige verdiene til disse funksjonene.
Den mesh omfatter også noder som ligger på grensen av feltet (eller i det minste “nær” til denne grensen) for å være i stand til å pålegge de grensebetingelser og / eller den initiale tilstand med tilstrekkelig nøyaktighet.
A priori er den første kvaliteten på et nett så godt som mulig å dekke feltet det utvikler seg i, for å begrense avstanden mellom hver node og dens nærmeste nabo. Imidlertid må masken også gjøre det mulig å uttrykke den diskrete formuleringen til operatørene av differensiering: Av denne grunn er knutepunktene til masken ofte plassert på et rutenett hvis hovedretninger er aksen til variablene.
Man kaller trinn av masken avstanden mellom to naboknuter plassert på en linje parallelt med en av aksene. Slik sett er trinnet både en lokal og en retningsbestemt forestilling. Vi vil snakke om global tonehøyde for å utpeke den største lokale tonehøyde , et begrep som forblir retningsbestemt.
Selv om en konstant tonehøyde ofte beholdes (uten å utgjøre et teoretisk problem for oppløsningen), er det noen ganger hensiktsmessig å innføre en variabel tonehøyde som blir valgt finere i de områdene der den nøyaktige løsningen har sterkere variasjoner: dette trikset gjør det mulig for å redusere antall ukjente uten å gå på bekostning av resultatens presisjon. På den annen side er formuleringen litt mer kompleks fordi diskretiseringen av differensialoperatørene må ta hensyn til den.
For en differensialligning om en funksjon av en variabel hvis domene (in ) er intervallet [0; 1] , er en konstant stigning gitter karakterisert ved M + 1 noder x i = ih , 0 ≤ i ≤ M med trinn h = 1 / M . Dette nettverket inkluderer de to grensepunktene x 0 og x M som det pålegges mulige grensevilkår.
Tenk på en delvis differensialligning angående en funksjon av to variabler (domene ):
Et numerisk skjema kan defineres som den algebraiske formuleringen av et diskret problem designet ved å bruke den endelige differensmetoden. Prosessen inkluderer følgende trinn:
Når det digitale diagrammet er etablert og at det diskrete problemet er formulert, er det ikke bare et spørsmål om å løse det, men også å sørge for at den diskrete løsningen konvergerer mot den nøyaktige løsningen når trinnene i masken har en tendens til 0.
For visse såkalte eksplisitte diagrammer er det mulig å bestille de ukjente på en slik måte at hver av dem kan bestemmes rekursivt fra de foregående som antas å være beregnet allerede ( trekantmatrise ). For implisitte ordninger er det noen ganger mulig å unngå å løse hele systemet med alle ligninger. Dette er spesielt tilfelle for et system i utvikling hvor tilstanden, preget av romlige variabler, er definert av utgangsbetingelser (t = 0), og deretter utvikler seg gradvis over tid: det numeriske diagrammet forblir eksplisitt i variabelen tidsmessig og dets implisitte karakter gjelder bare de romlige variablene.
I alle tilfeller gjelder hver ligning i det numeriske diagrammet bare et lite antall ukjente. I et lineært miljø fører denne egenskapen til å formulere det diskrete problemet ved hjelp av sparsomme matriser og dra nytte av det for å løse det ved hjelp av passende metoder . Denne fordelen er ubestridelig når størrelsen på masken overstiger rammene av en didaktisk studie.
Oppløsningen til numeriske diagrammer er generelt basert på klassiske algebraiske metoder. Imidlertid kan andre ekvivalente formuleringer kreve optimaliseringsmetoder .
Tenk på følgende problem:
Dette problemet forblir akademisk i den grad den nøyaktige løsningen er kjent:
Med den eksplisitte Euler-ordningen av rekkefølge 1 brukt på et vanlig maskevidde med tonehøyde h = 1 / M , er de ukjente u n som gjenspeiler u ( nh ) knyttet til forholdene
Dette diagrammet fører til gjentakelsesforholdet
hvis eksplisitte løsning er
En annen formulering oppnådd ved hjelp av diagrammet i orden 2 (unntatt ved noden n = 1 som man holder diagrammet i orden 1) gir
Som det første er dette andre diagrammet eksplisitt .
Det er veldig enkelt å bestemme løsningene i disse to diagrammene numerisk for å sammenligne dem med den nøyaktige løsningen. Det virker legitimt å forvente bedre resultater med det andre diagrammet siden ordren er høyere enn det første (det er mulig å vise at de to digitale diagrammene er jevnt konvergente):
Denne sammenligningen viser tydelig at en god representasjon av differensialoperatørene ikke er tilstrekkelig for å oppnå et godt numerisk diagram.
Den konvergens av et digitalt diagram er en total teoretisk egenskap at differansen (i henhold til en standard ) mellom den tilnærmede løsning, og den eksakte løsning tenderer mot 0 når diskretisering trinnet tenderer mot 0 (eller når hvert av trinnene global forbundet med de forskjellige retningene har en tendens mot 0).
Den omtrentlige løsningen på et digitalt diagram er fortsatt ikke veldig troverdig så lenge konvergensen ikke er vist. Dette beviset er utvilsomt det mest delikate punktet i metoden for fine forskjeller, i alle fall den som krever bruk av analytiske verktøy .
Det er ikke nok å sjekke ved hjelp av konkrete numeriske eksempler at oppførselen til den diskrete løsningen samsvarer med forventningene for å sikre konvergens. På den annen side kan slike eksempler være med på å bevise det motsatte.
Konseptuelt manifesteres forskjellene mellom tilnærmet løsning og nøyaktig løsning ved en kombinasjon av to fenomener:
Disse konseptene vurderer ikke avrundingsfeil som ytterligere kan komplisere forhold, som vist i figuren nedenfor, oppnådd med et konkret eksempel :
Standarden som konvergens studeres for, må forbli uavhengig av diskretiseringstrinnene. Imidlertid er det vanlig å bruke standarder relatert til de i L p- mellomrom . For en funksjon av en variabel:
I sammenheng med et evolusjonært problem med begynnelsestilstand , spesifiserer Lax teorem ideene om konsistens og stabilitet , den andre er en nødvendig og tilstrekkelig tilstand for å sikre konvergens .
I det siste eksemplet presentert ovenfor som man samtidig vet den nøyaktige løsningen og den omtrentlige løsningen (diagram av Euler) , tilfredsstiller rapporten
som har en tendens mot 0 når en tendens mot 0, dette jevnt for
Dermed har en tendens ensartet mot 0, noe som beviser konvergensen av denne Euler-ordningen i normen