Tangent (trigonometri)

Den tangent er en fundamental trigonometrisk funksjon . Det er bemerket tan og ble tidligere notert tg .

Definisjoner

I en rettvinklet trekant ABC ved C er tangens for vinkelen Â forholdet mellom siden motsatt A og siden ved siden av A :

{\ displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}

Som en påminnelse bruker vi ofte det mnemoniske akronymet “TOA”:

{\ displaystyle \ mathrm {tangent} = {\ frac {\ mathrm {oppos {\ acute {e}}}} {\ mathrm {tilstøtende}}}}

Med hensyn til den trigonometriske sirkelen :

Tangenten til en vinkel θ er lengden på segmentet av tangenten til den trigonometriske sirkelen som avlytter x-aksen.

Sammenlignet med andre trigonometriske funksjoner: tangensfunksjonen er forholdet mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen :

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}

Vær oppmerksom på at denne funksjonen ikke er definert for verdier der vinkelens cosinus forsvinner, tilsvarende grense tilfeller der tangenten er parallell med avlyttingslinjen.

applikasjoner

I en rett trekant gjør tangentfunksjonen det mulig å bestemme lengden på den ene siden av den rette vinkelen, og kjenne en vinkel og lengden på en av de andre sidene. Dette brukes til optisk lengdemåling. For eksempel, med en parallaksavstandsmåler, bestemmes avstanden D til et observert objekt fra avstanden L som skiller mellom to observasjonsglass og fra observasjonsvinkelen θ, bestemt ved å gjøre bildene av de to sammenfallende. Glass ved å rotere et speil:

{\ displaystyle D = L \ cdot \ tan \ theta}

Tangenten er også en måte å uttrykke mål på en vinkel på: når vi uttrykker en skråning i prosent (%), tilsvarer den tangenten til vinkelen til den største skråningen sammenlignet med den horisontale, multiplisert per hundre.

Tangentfunksjon

Eiendommer

Tangensfunksjonen er en reell funksjon som er:

periodisk , med periode π: $tan (θ + k \cdot π) = tan θ$ for et hvilket som helst k- heltall ;
odd : $tan (-θ) = - tan θ$ ;
den forsvinner ved 0 og derfor for alle heltallsmultipler av π: $tan ( k π) = 0$ for ethvert heltall k ;
den presenterer vertikale asymptoter med verdiene $θ = k π + π / 2$ for et hvilket som helst k- heltall: ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {-}} \ tan \ theta = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {+}} \ tan \ theta = - \ infty}$
dets derivat er: ${\ displaystyle \ tan '\ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}$
Hvis en vinkel θ uttrykkes i radianer , har vi for lave verdier på:: tan θ ≃ θ (se seksjonen Begrenset utvidelse nedenfor).

Ved å bruke Eulers formel har vi:

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}

Den gjensidige funksjonen er tangentbuefunksjonen , betegnet arctan ; noen kalkulatorer noterer det "atan".

Den omvendte av tangensfunksjonen er cotangensfunksjonen , betegnet barneseng (noen ganger cotan eller cotg):

{\ displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}

Begrenset utvikling

Den begrensede utviklingen av tangensfunksjonen ved null er:

{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}

hvor B 2 n er Bernoulli-tallene .

Numerisk beregning

Beregningen av tangenten gjøres etter serie , men i stedet for å bruke utvidelsen begrenset av Taylor-serien , som bruker mange multiplikasjoner, foretrekker vi den KORDISKE algoritmen .

Se også

Cotangent
Pythagoras trigonometrisk identitet
Hyperbolisk tangens
Erstatning Weierstrass (en) (sinus og cosinus fungerer som rasjonelle funksjoner av tangenten til halvvinkelen)
Tangensen til enhver ikke-rasjonal rasjonell er irrasjonell.