Lagranges teorem om grupper

I matematikk setter setningen til Lagrange om grupper et grunnleggende resultat som gir informasjon kombinatorisk om endelige grupper . Teoremet skylder matematikeren Joseph-Louis Lagrange . Det kalles noen ganger Euler-Lagrange- setning fordi det generaliserer en Euler-setning på heltall.

Stater

Lagrange teorem - For en hvilken som helst endelig gruppe $G$ og en hvilken som helst undergruppe $H$ av $G$ , til rekkefølgen av $H$ (dvs. dets kardinal ) skiller som i $G$ :

{\ displaystyle | H | \ quad {\ text {divide}} \ quad | G |.}

Demonstrasjon

Ved definisjon er indeksen $[ G : H ]$ av $H$ i $G$ er den cardinality av settet $G / H$ av klasser i henhold til venstre H av elementene $G$ . Eller disse klassene danner en skillevegg av $G$ , og hver av dem har samme cardinality som $H$ . Etter hyrdenes prinsipp utleder vi:

{\ displaystyle | G | = | H | \ ganger [G: H].}

Merk at denne formelen forblir sant når de tre kardinalene den kobler til er uendelige, og at det er et spesielt tilfelle av indeksformelen .

applikasjoner

Den rekkefølge av et element x av en endelig gruppe kan defineres som rekkefølgen av undergruppen som den genererer . (Det er også det minste heltallet n > 0 tilfredsstillende: x n = e .) Etter Lagranges teori deler denne rekkefølgen gruppens rekkefølge.
En gruppe G av primærorden p er syklisk og enkel . Faktisk, ethvert ikke-nøytralt element x av G er av orden strengt større enn 1 og etter det som går foran en deler av p . Siden p er et primtall, er rekkefølgen av x er p ; dvs. x genererer en syklisk gruppe av orden p , nødvendigvis lik G .
Denne setningen kan brukes til å bevise Fermats lille setning og dens generalisering, Eulers teorem .
La G demonteringsmonteringsgruppen til Rubiks kube og gni undergruppen til G som tilsvarer kvalifiserte bevegelser (du "bryter" ikke kuben). Da er indeksen for Gni i G 12. Da får vi enkelt ut at antallet mulige konfigurasjoner av Rubiks kube er 43 252 003 274 489 856 000.

Delvis gjensidige

En endelig gruppe G tilfredsstiller ikke alltid "omvendt Lagranges teorem", dvs. det kan eksistere en divisor d av | G | som G ikke innrømmer noen undergruppe av ordre d . Den minste counterexample er den vekslende gruppe A 4 , som er av orden 12, men har ingen undergruppe av orden 6 (fordi enhver undergruppe av indeks 2 inneholder kvadratene i gruppen, eller i At 4 er det 9 firkanter).

Den Cauchy teorem , de Sylow teoremer , teoremet bevist ved Philip Hall på undergrupper Hall , danner den partielle resiproke Lagrange teorem.

For at en endelig gruppe skal verifisere “omvendt Lagranges teorem”, er det nødvendig at den er løsbar (men ikke tilstrekkelig: A 4 er løsbar) og tilstrekkelig til at den er superløselig (men ikke nødvendig: gruppesymmetrisk S 4 er ikke superoppløselig, siden den innrømmer S 3 som en maksimal undergruppe av ikke-primærindeks).

En endelig gruppe G er nilpotent hvis og bare hvis den tilfredsstiller følgende sterke "gjensidige" av Lagranges teorem: for en hvilken som helst divisor d av | G |, G har en normal undergruppe av ordre d .

Historisk

Den franske matematikeren Joseph-Louis Lagrange demonstrerte at, ved permutasjon av den ubestemte $n$ av et polynomisk uttrykk , er antall oppnådde uttrykk en skiller av $n$ $!$ . Settet med permutasjoner blir sett på i dag som en gruppe med $n$ $!$ elementer , som virker på polynomer med $n$ variabler. Lagranges arbeid tolkes på nytt som kardinalens beregning av en bane av denne handlingen : den fremstår således som en forløper for fremveksten av begrepet gruppe , hvis formelle definisjon først ble gitt på slutten av 1800 - tallet.

Merknader og referanser

Pierre Colmez , “ Rubiks kube, lommegruppe ” , på culturemath.ens.fr .
André Warusfel . , Succeed in the rubik: 's s cube , Paris, France loisirs ,nitten åtti en, 190 s. ( ISBN 2-7242-1030-1 og 9782724210309 , OCLC 461676792 , les online ) , s.15
Det er "det minste" i den forstand at det er det eneste som er mindre enn eller lik 12 .
J.-L. Lagrange , " Refleksjoner om den algebraiske oppløsningen av ligninger, II ", New Memoirs of the Royal Academy of Sciences og Belles-Lettres of Berlin ,1771, s. 138-254(spes. s. 202-203), omtrykt i Œuvres de Lagrange , t. 3, Paris, 1869, s. 305-421 , tilgjengelig online (spes. S. 369-370 )