Enkel gruppe

I matematikk er en enkel gruppe en ikke- triviell gruppe som ikke har noen fremtredende undergruppe annet enn seg selv og dens trivielle undergruppe.

Definisjon

En gruppe sies å være enkel hvis den har nøyaktig to fremtredende undergrupper: (som er det nøytrale elementet i gruppen) og seg selv. $(G, *)$ ${\ displaystyle (\ {e \}, *)}$ $e$ $(G, *)$

Eksempler

Noen eksempler på enkle grupper:

De eneste enkle abeliske gruppene er de primære ordens sykliske gruppene . Faktisk er enhver undergruppe av en abelsk gruppe normal, og en ikke triviell gruppe som ikke har noen annen undergruppe enn seg selv og dens trivielle undergruppe er syklisk av første orden.

Demonstrasjon

La G være en ikke-triviell gruppe som ikke har noen undergruppe annet enn seg selv og dens trivielle undergruppe. La g være et element av G annet enn det nøytrale; undergruppen generert av g er ikke-triviell, derfor lik G , slik at G er monogen . Videre er G endelig (ellers ville det være isomorf til ℤ og ville inneholde den strenge undergruppen 2ℤ). G er derfor syklisk av endelig orden n . For en hvilken som helst divisor d av n har G en undergruppe av orden d , så d er lik 1 eller n . Dermed er n nødvendigvis prime.

Gruppen SO 3 (ℝ) av spesielle ortogonale matriser av ordre 3 med reelle koeffisienter er enkel. Mer generelt er gruppene SO n (ℝ) enkle hvis og bare hvis n er merkelig. For n even inneholder gruppen SO n (ℝ) den normale undergruppen {Id, -Id}, og er ikke enkel. Kvotientgruppen SO n (ℝ) / {Id, -Id} er enkel hvis og bare hvis partallet n er større enn eller lik 6. Gruppen SO 4 (ℝ) / {Id, -Id} er ikke enkel , som er isomorf til produktet av SO 3 (ℝ) i seg selv.
For n større enn eller lik 5 er den vekslende gruppen på elementer enkel. Dette resultatet er grunnlaget for teorien om radikal oppløsning . $ikke$ $År}$
Mange grupper av Lie-typen er enkle. Dette er for eksempel tilfelle for den enkle gruppen av rekkefølge 168 som kan sees på som den lineære gruppen i et vektorrom med dimensjon 3 på det endelige feltet med to elementer.
De sporadiske gruppene .

Renter

Uttrykket "enkel" betyr at slike grupper ikke på en måte er "reduserbare" til en mer håndterbar gruppe. Interessen til en fremtredende ikke-triviell undergruppe av en gruppe er ofte å tillate konstruksjon av kvotientgruppen . Studien av blir deretter redusert til den av og . Denne konstruksjonen er ikke mulig for en enkel gruppe, og vi kan derfor ikke redusere studien til en kardinal kvotientgruppe som er mindre enn den. $H$ $G$ $G / H$ $G$ $H$ $G / H$

Enhver enkel ikke- abelsk gruppe er uløselig .

Endelige enkle grupper er viktige fordi de kan sees på som byggesteinene til alle endelige grupper , på samme måte som alle heltall kan spaltes til produktet av primtall .

Den klassifiseringen av endelige enkle grupper ble gjennomført i 1982.

Feit-Thompson-setning

The Feit-Thompson-teoremet sier at enhver endelig gruppe av odde orden er løselig . Det følger at enhver ikke-abelsk enkel endelig gruppe er av jevn orden og derfor inneholder minst en involusjon (det vil si et element i orden 2).

Merknader og referanser

(in) Joseph J. Rotman (in) , En introduksjon til teorien om grupper [ detaljutgaver ], 4 th ed., 1999 utgave, s. 39 .
N. Bourbaki , Elements of matematics , Algebra , ch. 1, 1970, s. 36.
D. Perrin, algebra , ellipser,1996

Se også