Riesz-Fischer-setning

I matematikk , nærmere bestemt i integrasjonsteori , sier Riesz-Fischer-teoremet :

at en funksjon er kvadratisk integrerbar hvis og bare hvis den tilsvarende Fourier-serien konvergerer i rommet $L 2$ ;
at rommet $L p$ er komplett .

Disse to uttalelsene (med $p$ = 2 i det andre) ble demonstrert i 1907 av ungareren Frigyes Riesz og østerrikeren Ernst Sigismund Fischer : Riesz beviste den første uttalelsen og Fischer den andre, hvorfra han startet den første på nytt.

Konvergens av Fourier-serien

Den første påstanden betyr at hvis delsummen av Fourier-serien som tilsvarer funksjonen $f$ er gitt av

{\ displaystyle S_ {N} f (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} \, e ^ {\ mathrm {i} nx}}

der $F n$ er den $nende$ Fourier-koeffisienten, gitt av

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, e ^ {- \ mathrm {i} nx} ~ \ mathrm {d} x}

så

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ Vert S_ {n} ff \ right \ | = 0}

hvor er normen $L$ $2$ som kan skrives for en funksjon $g$ ${\ displaystyle \ left \ Green \ cdot \ right \ |}$

{\ displaystyle \ left \ Green g \ right \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | g | ^ {2}}}}

Motsatt, hvis $( a n )$ er en sekvens av komplekse tall indeksert av settet med relative heltall slik at

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right \ vert ^ {2} <\ infty}

så eksisterer det en integrerbar kvadratfunksjon $f$ slik at $a n$ er Fourier-koeffisientene til $f$ .

Denne setningen generaliserer Bessels ulikhet og kan brukes til å bevise Parsevals likhet for Fourier-serier .

Plassens fullstendighet $L p$

For hvilken som helst $p > 0$ er det metriske rommet $L p$ komplett. I det vanlige tilfellet $1 \leq p \leq \infty$ er det dessuten et normalisert vektorrom , derfor et Banach-rom ; spesielt hvis $p$ = 2, er det et Hilbert-rom .

Vi bevise i forbifarten at for $p \geq 1$ , hver cauchyfølge i $L p$ - med andre ord, en posteriori : hver konvergent følge i $L p$ - har en subsequence som konvergerer nesten overalt .

Bevis for

p \geq 1

Saken $p = \infty$ er øyeblikkelig (det er et spørsmål om ensartet konvergens utenfor et ubetydelig sett ), la oss fikse $1 \leq p <\infty$ og en Cauchy-sekvens $( f n )$ av elementer av $L p$ .

Den har en konsekvens $( g n ) som$ bekrefter:

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <2 ^ {- n},}

og det er tilstrekkelig å bevise at $( f n )$ konvergerer, å vise at $( g n )$ konvergerer. La oss stille for det

{\ displaystyle g = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} | g_ {n + 1} -g_ {n} |.}

Denne funksjonen $g$ er målbar og verifiserer (ved monoton konvergens og Minkowski ulikhet ):

{\ displaystyle \ | g \ | _ {p} \ leq \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <\ infty. }

Det er derfor begrenset nesten overalt, det vil si at på et punkt $x$ utenfor en viss ubetydelig sett, den digitale serien er absolutt konvergent , derfor konvergent . Bortsett fra dette ubetydelige settet, konvergerer derfor sekvensen $($ $g$ $n$ $) seg$ rett og slett mot en bestemt funksjon $f$ som derfor er målbar. Vi avslutter med å merke at $f$ tilfredsstiller: ${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (g_ {n + 1} -g_ {n}) (x)}$

{\ displaystyle \ | f-g_ {n} \ | _ {p} \ leq \ sum _ {k \ geq n} \ | g_ {k + 1} -g_ {k} \ | _ {p} \ leq 2 ^ {- n + 1},}

slik at den tilhører $L p$ og at sekvensen $( g n )$ konvergerer i dette rommet.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen “ Riesz - Fischer-teorem ” ( se listen over forfattere ) .
(no) Richard Beals Analysis: An Introduction , Cambridge University Press , 2004 ( ISBN 978-0-521-60047-7 )
(en) John Horváth, " Om Riesz-Fischer-teoremet " [PDF]

F. Riesz , “ On orthogonal systems of functions ”, CRAS , vol. 144,1907, s. 615–619.
E. Fischer , " On average convergence ", CRAS , vol. 144,1907, s. 1022–1024.
E. Fischer , “ Applications of a Theorem on Convergence on Average ”, CRAS , vol. 144,1907, s. 1 148-1 151.

Riesz-Fischer-setning

Konvergens av Fourier-serien

Plassens fullstendighet L p

Merknader og referanser

Plassens fullstendighet $L p$