Ergodisk teorem

I dynamiske systemer , og spesielt i ergodisk teori , kalles mange setninger ergodiske teoremer . De gjør det mulig å tallfeste tettheten til banene til et målt dynamisk system i betydningen teorien om måling .

Birkhoffs ergodiske setning

Er :

$(X, \ mathcal {A}, \ mu)$ et begrenset målt rom .
T : X → X en målbar transformasjon som bevarer målingen (det vil si at for ethvert målbart sett A de har vi ). $\ mu$ ${\ mathcal {A}}$ $\ mu (T ^ {- 1} (A)) = \ mu (A)$

Så:

For enhver funksjon av L 1 ( X , μ) konvergerer sekvensen μ-nesten overalt. $f$ $\ left (\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) \ right) _ {n \ geq 1}$
Videre, ved å merke (når den eksisterer) ,, har vi: limikke→∞1ikke∑k=0ikke-1f∘Tk(x)=g(x){\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ {k} (x) = g (x)} $\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) = g (x)$
- $g \ circ T = g$ , - nesten overalt . $\ mu$
- ${\ displaystyle \ | g \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {1}}$ ( er derfor i ). $g$ $L ^ 1 (X, \ mu)$
- Funksjonssekvensen konvergerer i L 1 ( X , μ) mot . $\ left (\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k \ right) _ {n \ ge1}$ $g$
- For noen målbar sett En som vi har: . Dette kan omformuleres på en tilsvarende måte si at (nesten overalt), eller er den stamme som inneholder alle settene for hvilke og betegner betinget forventning . $\ mu \ left (T ^ {- 1} (A) \ Delta A \ right) = 0$ $\ int_Ag (x) ~ \ mathrm d \ mu (x) = \ int_Af (x) ~ \ mathrm d \ mu (x)$ ${\ displaystyle g = {\ mathsf {E}} (f \ mid {\ mathcal {I}})}$ $\ matematikk I$ $A \ i {\ mathcal A}$ $\ mu \ left (T ^ {- 1} (A) \ Delta A \ right) = 0$ ${\ displaystyle {\ mathsf {E}} (\ cdot \ mid {\ mathcal {I}})}$

Resultat

Med de samme forutsetningene og antar i tillegg at det er μ-ergodisk , har vi: $T$

\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) = \ int_Xf (t) ~ \ mathrm d \ mu (t)

for μ-nesten alt .

x

Merknader

Summen kalles et Birkhoff-gjennomsnitt av . $\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ {k} (x)$ $f$
Grensen når den eksisterer kalles orbital (eller tid) gjennomsnittet av . $\ lim \ nolimits_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x)$ $f$
Integralet er det romlige gjennomsnittet av . $\ int_Xf (t) ~ \ mathrm d \ mu (t)$ $f$

Dermed sier teoremet at hvis er et sannsynlighetsmål som er ergodisk, sammenfaller gjennomsnittet av en integrerbar funksjon nesten hele tiden med det romlige gjennomsnittet. $\ mu$ $T$

Noen formuleringer av den store loven i stort antall er spesielle tilfeller av denne teoremet.

Noen enkle applikasjoner

Eksempel 1

La B være et ikke-ubetydelig målbart sett (μ ( B )> 0). Hvis T er μ-ergodisk, så for nesten alle av , har vi: $x$ $X$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ operatorname {card} (\ {k \ in \ {0, \ ldots, n-1 \} ~ | ~ T ^ {k} (x) \ in B \}) = {\ frac {\ mu (B)} {\ mu (X)}}.}

Andelen tid som banen til x bruker i B er nøyaktig μ ( B ) / μ ( X ).

Eksempel 2

For nesten alle reelle i intervallet , er gjennomsnittlig antall nuller i desimaltrykket av (det vil si hvor er tiendedelssifferet til , hundredelssifret osv.) Lik . $x$ $[0.1]$ $x$ $x = 0, a_1a_2a_3 ...$ $a_1$ $x$ $a_ {2}$ $x$ $1/10$

Von Neumann ergodiske setning

La være en enhetsoperatør på et Hilbert-rom , eller mer generelt en lineær isometri (ikke nødvendigvis overgripende ) og den ortogonale projeksjonen på underområdet til vektorene som er fiksert av . Så for enhver vektor av har vi: $U$ $H$ $P$ $U$ $x$ $H$

\ lim_ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} U ^ nx = Px,

der grensen er i betydningen av topologien til normen på . Med andre ord konvergerer sekvensen av gjennomsnitt mot den sterke topologien til operatørene (en) . $H$ $\ frac1N \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} U ^ n$ $P$

Dette teoremet gjelder særlig det tilfelle hvor Hilbert rom er det plass L 2 av en målt plass , og der er en operatør av formen , for en viss endomorphism av som bevarer mål, og som kan sees som den tilstandsendring av et dynamisk system for diskret tid. Den ergodiske teoremet sier da at gjennomsnittet av en funksjon over et stort nok tidsintervall er tilnærmet av den ortogonale projeksjonen av funksjonene som forblir konstante over tid. $H$ $\ scriptstyle (X, \ mathcal A, \ mu)$ $U$ $Uf (x) = f (Tx)$ $T$ $X$ $f$ $f$

En annen formulering av denne ergodiske teoremet er at hvis det er en sterkt kontinuerlig enparametergruppe av enhetsoperatører , så er operatøren $U_t$ $H$

\ frac1T \ int_0 ^ T U_t ~ \ mathrm dt

konvergerer (for operatørens sterke topologi) når det har en tendens til uendelig. Faktisk strekker dette resultatet seg til en halv gruppe med en sterkt kontinuerlig parameter for ikke-ekspansive operatører på et refleksivt rom . $T$

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Ergodic theory " ( se listen over forfattere ) .

(in) Mr. Reed (in) og B. Simon , funksjonsanalyse , San Diego, Academic Press, 1980 ( ISBN 978-0-12585050-6 )
(in) Peter Walters, En introduksjon til ergodisk teori , Springer, New York, 1982 ( ISBN 0-387-95152-0 )

Se også

Relaterte artikler

Dunford-Schwartz-setning
Teorem fordeling (en)

Ekstern lenke

(no) George D. Birkhoff , Bevis for ergodisk teorem , Proc. NAS 17 (1931), 656-660