Guas teorem
I matematikk er De Guas teorem en utvidelse av Pythagoras teorem til geometri i rommet . Den ble bekjentgjort av René Descartes og Johann Faulhaber allerede i 1622. De Gua demonstrerte det i 1783 ved å bruke formlene til Heron of Alexandria .
Stater
La O, A, B, C være et tri-rektangel tetraeder i O.
Kvadraten til arealet av ansiktet ABC er summen av kvadratene til områdene til de andre tre ansiktene.
PÅPÅBVS2=PÅPÅBO2+PÅPÅVSO2+PÅBVSO2{\ displaystyle A_ {ABC} ^ {2} = A _ {\ color {blue} ABO} ^ {2} + A _ {\ color {green} ACO} ^ {2} + A _ {\ color {red} BCO} ^ {2}}
Demonstrasjon
Betegn a, b, c de respektive lengdene på kantene OA, OB, OC
Tenk på det indre volumet som er kuttet av tetraederet, det er lik ABC/6=vs./3PÅPÅBO{\ displaystyle A _ {\ color {blue} ABO}}=b/3PÅPÅVSO{\ displaystyle A _ {\ color {green} ACO}}=på/3PÅBVSO{\ displaystyle A _ {\ color {red} BCO}} men også til h/3PÅPÅBVS{\ displaystyle A_ {ABC}} hvor h betegner høyden assosiert med ansiktet ABC.
Siden vektoren er normal i forhold til ABC-planet, er denne høyden verdtikke→=(bvs.)2OPÅ→+(påvs.)2OB→+(påb)2OVS→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {n}} = (bc) ^ {2} {\ overrightarrow {OA}} + (ac) ^ {2} {\ overrightarrow {OB}} + (ab) ^ {2} {\ overrightarrow {OC}}}h=<OPÅ→|ikke→>||ikke→||{\ displaystyle \ scriptstyle h = {<{\ overrightarrow {OA}} | {\ overrightarrow {n}}> \ over || {\ overrightarrow {n}} ||}}
Så vi, i samsvarende volumer . Enten ved å forenkle ; ønsket formel.
påbvs.6=13påbvs.(bvs.)2+(påvs.)2+(påb)2PÅPÅBVS{\ displaystyle {\ frac {abc} {6}} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {abc} {\ sqrt {(bc) ^ {2} + (ac) ^ {2} + (ab) ^ {2}}}} A_ {ABC}}4PÅPÅBVS2=(påb)2+(bvs.)2+(påvs.)2{\ displaystyle 4A_ {ABC} ^ {2} = (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ac) ^ {2}}
Utvidelse
Formelen strekker seg til høyere dimensjoner, som Descartes bemerker for dimensjon 4, i notatene fra 1619/1623.
En demonstrasjon av denne generelle saken finner du i utgave 6 av American Monthly 2006.
Referanser
-
Historie fra Royal Academy of Sciences ,1 st januar 1786, 374 og følgende. s. ( les online ).
-
Adam and Tannery, Complete Works of Descartes ( les online ) , s. 256 og følgende.
-
(in) Quadrat, " Pythagoras 'teorem for områder. " , American Monthly ,juni 2006( les online ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">