Transversalitet
I lineær algebra og differensialgeometri er egenskapen til transversalitet en kvalifiserende for skjæringspunktet mellom delområder eller delmanifold. Det er på en måte det motsatte av forestillingen om tangens .
To underrom , med et vektorrom er kalt tverrstilt når . Denne tilstanden kan omskrives om nødvendig i form av kodestørrelse :
F{\ displaystyle F}
G{\ displaystyle G}
E{\ displaystyle E}
F+G=E{\ displaystyle F + G = E}![{\ displaystyle F + G = E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc12300b868b14dbcfb042de0ad3b23a842d6b6)
codim(F)+codim(G)=codim(F∩G){\ displaystyle \ operatorname {codim} (F) + \ operatorname {codim} (G) = \ operatorname {codim} (F \ cap G)}![{\ displaystyle \ operatorname {codim} (F) + \ operatorname {codim} (G) = \ operatorname {codim} (F \ cap G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c52e43fd5323a15f8a70ac01e3357179f700d9)
.
To underrom affineres , et affinert rom kalles tverrgående hvis retningen deres er tverrgående , dvs. hvis
Y{\ displaystyle Y}
Z{\ displaystyle Z}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Y→+Z→=X→{\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Z}} = {\ overrightarrow {X}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Z}} = {\ overrightarrow {X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2262a5cf11d7019accd6bea1e8ff7cfc26f94b)
.
To submanifolds og av en differensialmanifold sies å være tverrgående når, for et hvilket som helst punkt av , tangensrommene og er tverrgående i tangensrommet , dvs. hvis
M{\ displaystyle M}
IKKE{\ displaystyle N}
P{\ displaystyle P}
x{\ displaystyle x}
M∩IKKE{\ displaystyle M \ cap N}
TxM{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} M}
TxIKKE{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} N}
TxP{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P}![{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa24cf03e935598e836f78f21e06d3e312484f5)
TxP=TxM+TxIKKE{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P = T_ {x} M + T_ {x} N}
I det følgende angir du de respektive dimensjonene på .
m,ikke,s{\ displaystyle m, n, p}
M,IKKE,P{\ displaystyle M, N, P}![M, N, P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a563828c737f58c198ebf921191aaa570543c0)
Merknader:
- Definisjonen er fortsatt gyldig for banachiske varianter.
- To usammenhengende underrør er tverrgående.
- Hvis , så kan transversalitetsbetingelsen bare verifiseres hvis undermanifolden og ikke er sammenhengende.m+ikke<s{\ displaystyle m + n <p}
M{\ displaystyle M}
IKKE{\ displaystyle N}![IKKE](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Teorem - Et tverrgående og ikke-fritt skjæringspunkt er en differensiell undervariant av dimensjon .
M∩IKKE{\ displaystyle M \ cap N}
m+ikke-s{\ displaystyle m + np}![{\ displaystyle m + np}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3936a66c27ec4bb7a4e7e27c285d4b5ca60ec7)
Vi har derfor i dette tilfellet forholdet
Sol(M∩IKKE)=Sol(M)+Sol(IKKE)-Sol(P).{\ displaystyle \ operatorname {dim} (M \ cap N) = \ operatorname {dim} (M) + \ operatorname {dim} (N) - \ operatorname {dim} (P).}
codim(M∩IKKE)=codim(M)+codim(IKKE).{\ displaystyle \ operatorname {codim} (M \ cap N) = \ operatorname {codim} (M) + \ operatorname {codim} (N).}
For eksempel er to vanlige flater av tredimensjonalt rom tverrgående hvis og bare hvis de ikke har noe tangenspunkt. I dette tilfellet danner skjæringspunktet en vanlig kurve (muligens tom).
Antall kryss
Gavmildhet
Teorem - Hvis og er to submanifolds av klasse ( ) av respektive dimensjoner og , så er det en -diffeomorfisme av , så nær identiteten som ønsket i topologi , for eksempel kryssing på tvers .
M{\ displaystyle M}
IKKE{\ displaystyle N}
VSk{\ displaystyle C ^ {k}}
k≥1{\ displaystyle \ scriptstyle k \ geq 1}
m{\ displaystyle m}
ikke{\ displaystyle n}
VSk{\ displaystyle C ^ {k}}
h{\ displaystyle h}
P{\ displaystyle P}
VSk{\ displaystyle C ^ {k}}
h(M){\ displaystyle h (M)}
IKKE{\ displaystyle N}![IKKE](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Generelt krysser to submanifold på tvers, selv om det betyr å forstyrre en av dem ved en isotopi .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">