Elastisk energi

Den elastiske energien er energien forbundet med den elastiske deformasjonen av en fast gjenstand eller væske ( trykk av en gass eller en væske ).

For å deformere et fast stoff eller et fluid er det nødvendig å utøve en kraft som vil forårsake en variasjon i volumet AV. Anvendelsespunktet for kraften vil derfor bevege seg, arbeidet med denne kraften gjør det mulig å bestemme deformasjonsenergien. F→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}

Denne energien uttrykkes i forhold til en referansetilstand, for eksempel et system uten kompresjon, eller ellers utsatt for atmosfærisk trykk; den er derfor definert opp til en konstant.

Tilfelle av væske

For en væske er denne energien vanligvis definert av

Ee=s⋅V{\ displaystyle \ mathrm {E_ {e}} = p \ cdot \ mathrm {V}}

hvor p er trykket og V volumet av væsken.

Tilfelle med en "komprimerbar" væske

Tenk på en "ukomprimerbar" væske som strømmer uten å spre energi i et rør. Vi anser den delen består i en rett seksjon 1 av område A 1 og en rett seksjon 2 av område A 2 . Når væsken går fremover, går del 1 frem med en mengde s 1 og seksjon 2 med en mengde s 2 . Hvis væsken er "ukomprimerbar", blir volumet konservert, og det har vi

A 1 × s 1 = A 2 × s 2 = δV.

Arbeidet til trykkreftene er skrevet:

W = ( p 1 x A 1 ) x s 1 - ( p 2 x A 2 ) x s 2 = ( p- 1 - p 2 ) AVa.

Hvis all væske frigjøres fra et rør med volum V der det er et trykk p i et rom der trykket er null, representerer dette arbeid

s 1 V.

Vi kan således definere væskens elastiske energi som værende

E e = p V.

La oss huske at en væske (som enhver sak) aldri er helt " ukomprimerbar ", idet kompressibiliteten er direkte relatert til lydens hastighet i elementet . Dette er derfor en idealisering for å forenkle beregningene, men strengt tatt vil vi heller snakke om ukomprimerbar flyt.

Tilfelle av gass

Tenk på en sylinder fylt med en gass ved trykk p , og et stempel i område S som beveger seg med en størrelse d x i denne sylinderen. Det anses at trykket ikke varierer under forskyvningen.

Volumvariasjonen er

dV = S × d x .

Stempelet utsettes for en kraft

F = p × S

og derfor er arbeidet det gir gassen

δW = F × d x = p × S × d x = p × dV.Adiabatisk transformasjon

Hvis transformasjonen er rask, bytter ikke gassen varme med omgivelsene; transformasjonen sies å være adiabatisk. Begrepet elastisk energi innebærer at vi vurderer arbeidet som kan tilveiebringes av en ekspanderende gass. Dette kan her tilsvare en gasspatron som blir slått, med en utilsiktet brudd i en tank, med en drivgass osv.

Hvis vi dessuten anser at det er en ideell gass , uttrykkes den elastiske energien ved (se Bernoullis teorem> Utvidede formuleringer ):

Ee=γγ-1sV{\ displaystyle \ mathrm {E_ {e}} = {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} p \ mathrm {V}}

hvor γ er den adiabatiske indeksen. For luft og alle de ideelle kiselgurene har vi γ = 7/5 = 1,4, dvs.

E e = 3,5 × p V. Andre transformasjoner

Hvis transformasjonen er treg, forblir gassen ved temperaturen i omgivelsene; vi har en isoterm transformasjon. Bestemmelsen av en elastisk energi er ikke veldig relevant her fra et industrielt synspunkt: dette antar at stempelet styres fra utsiden, derfor er gassen sannsynligvis ikke kilden til bevegelsen.

I tillegg utgjør definisjonen av elastisk energi et problem: arbeidet med å passere fra en tilstand ( p 1 , V 1 ) til en tilstand ( p 2 , V 2 ) er verdt

W12=ikkeRTln⁡(V2V1){\ displaystyle \ mathrm {W} _ {12} = n \ mathrm {R} \ mathrm {T} \ ln \ left ({\ frac {\ mathrm {V} _ {2}} {\ mathrm {V} _ {1}}} \ høyre)}

og gassen er perfekt, det har vi

n RT = p 2 V 2 = p 1 V 1

er

W12=sVln⁡(V2V1){\ displaystyle \ mathrm {W} _ {12} = p \ mathrm {V} \ ln \ left ({\ frac {\ mathrm {V} _ {2}} {\ mathrm {V} _ {1}}} \ Ikke sant)}

Vi finner dette begrepet p V, men i motsetning til den adiabatiske prosessen, øker arbeidet på ubestemt tid under en avslapning siden

limV→+∞ln⁡V=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {V} \ to + \ infty} \ ln \ mathrm {V} = + \ infty}.

Adiabatiske og isotermiske situasjoner er ideelle tilfeller. I virkeligheten kan estimeringen av elastisk energi være kompleks.

Tilfelle av en vår

For en fjær stivhet k , er det definert som en funksjon av forlengelsen Δ l  :

Ee=12⋅k⋅Δl2{\ displaystyle \ mathrm {E_ {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot k \ cdot \ Delta l ^ {2}}

Tilfelle av en solid

I kontinuummekanikk uttrykkes den elastiske energitettheten (i J m -3 )

• i tilfelle av uniaksial spenning, avhengig av den normale spenning σ og den relative forlengelse ε: enten i henhold til Hookes lov , ved å bringe den elastiske modul E:  ;
  we=12⋅σ⋅ε{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ sigma \ cdot \ varepsilon}
  
  we=12⋅E⋅ε2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ mathrm {E} \ cdot \ varepsilon ^ {2}}
• i tilfelle av ren skjæring, avhengig av skjærspenning τ og vinkeldeformasjon γ: enten involverer skjærmodulen G:  ;
  we=12⋅τ⋅γ{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ tau \ cdot \ gamma}
  
  we=12⋅G⋅γ2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ mathrm {G} \ cdot \ gamma ^ {2}}

Det sier seg selv at disse uttrykkene bare gjelder for materialer som er stresset i det elastiske området (spenningen forblir under den elastiske grensen ).

Generelt er den elastiske energien per volumsenhet verdt

we=12∑Jeg∑j(σJegjεJegj){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} \ sum _ {j} (\ sigma _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}

det vil si med Einsteins summeringskonvensjon  :

we=12σJegjεJegj=12tr(T_⋅E_){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {ij} \ varepsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr } ({\ understreket {\ mathrm {T}}} \ cdot {\ understrek {{matematikk {E}}})}.

Bruke hovedkomponentene (se Tensor for stammene> Hovedstammer og hovedspenning ):

we=12(σJegεJeg+σJegJegεJegJeg+σJegJegJegεJegJegJeg){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {\ mathrm {I}} \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ sigma _ {\ mathrm {II}} \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ sigma _ {\ mathrm {III}} \ varepsilon _ {\ mathrm {III}})}.

Ved å bruke Hookes lov generalisert for et isotropisk materiale, får vi

we=(μ+λ2)Jege12-2μJege2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = \ left (\ mu + {\ frac {\ lambda} {2}} \ right) \ mathrm {I} _ {\ mathrm {e} 1} ^ {2 } -2 \ mu \ mathrm {I} _ {\ mathrm {e} 2}}

eller

• λ og μ er Lamé-koeffisientene  ;
• I e1 og I e2 er invarianter av stamme tensor;

eller

we=12EJegs12-2μJegs2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2 \ mathrm {E}}} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {s} 1} ^ {2} - {\ frac {2} {\ mu}} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {s} 2}}

eller

• E er Youngs modul;
• I s1 og I s2 er invarianter av stress tensor .

Hvis man nedbryter tensorene delvis isotrop og avviker (se Tensor for deformasjonene> Tensor isotrop og avviker og Tensor av spenningene> Avviker ), har man

we=12tr((σ′+σ")(ε′+ε"))=12tr(σ′⋅ε′)+12tr(σ"⋅ε"){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} \ left ((\ sigma '+ \ sigma' ') (\ varepsilon' + \ varepsilon '' ) \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '\ cdot \ varepsilon') + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma ' '\ cdot \ varepsilon' ')}.

Isotrope tensorer gir energien til volumendring (uten formendring):

Uv=12tr(σ′⋅ε′){\ displaystyle \ mathrm {U_ {v}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '\ cdot \ varepsilon')} ;

deflektorene gir energien til formendring (uten volumendring), også kalt forvrengningsenergi:

Uf=12tr(σ"⋅ε"){\ displaystyle \ mathrm {U_ {f}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '' \ cdot \ varepsilon '')} ;

og så

w e = U v + U f .

Denne forvrengningsenergien er grunnlaget for definisjonen av ekvivalent von Mises stress .

Se også

Vedlegg

Relaterte artikler

• Mekanisk energi
• Mekanisk potensiell energi
• Konservativ styrke

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">