Richards ligning
Den Richards ligning beskriver overføring av vann i umettede jord . Selv om den bærer navnet Lorenzo A. Richards , som publiserte den i 1931, hadde den blitt etablert 9 år tidligere av Lewis Fry Richardson i sitt essay "Weather prediction by numerical process" (1922). Det er en ikke-lineær differensialligning , hvor man vet av analytisk løsning bare for visse meget enkle situasjoner.
Den er basert på kombinasjonen av Darcy- ligningen utvidet til et umettet medium av Edgar Buckingham og kontinuitetsligningen. Denne ligningen (kalt Richards-ligningen) er skrevet for en vertikal flyt i en forbigående tilstand :
∂θ∂t=∂∂z[K(θ)(∂h∂z+1)] {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K (\ theta) \ left ({\ frac {\ partial h } {\ partial z}} + 1 \ høyre) \ høyre] \}eller
K{\ displaystyle K} er jordens hydrauliske ledningsevne.
h{\ displaystyle h}er den matrise
ladning på grunn av
kapillarvirkning ,
z{\ displaystyle z}er
høyden i forhold til et
geodetisk referansesystem,
θ{\ displaystyle \ theta}er
volumetrisk vanninnhold , og
t{\ displaystyle t}er
tiden .
Fra antakelser til ligningen
Richards-ligningen vil bli etablert her i det enkle tilfellet med en vertikal flyt. Prinsippet om bevaring av masse sier at endringshastigheten for metningsgraden til en partikkel er lik endringshastigheten for summen av strømningshastighetene q som kommer inn og forlater dette volumet:
∂θ∂t=∇→⋅(∑Jeg=1ikkeq→Jeg,i-∑j=1mq→j,ute){\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {{\ vec {q }} _ {i, \, {\ text {in}}}} - \ sum _ {j = 1} ^ {m} {{\ vec {q}} _ {j, \, {\ text {out} }}} \ Ikke sant)}Sett i endimensjonal form for retningen , får vi kontinuitetsligningen i 1D:
k^{\ displaystyle {\ hat {k}}}
∂θ∂t=-∂∂zq{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial z}} q}Vannstrømningstettheten q i en jord som er utsatt for en hydraulisk hodegradient styres av Darcys empiriske lov:
q=-K∂H∂z{\ displaystyle q = -K {\ frac {\ partial H} {\ partial z}}}Ved å plassere flytdensiteten q i kontinuitetsligningen ovenfor, får vi:
∂θ∂t=∂∂z[K∂H∂z]{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} \ Ikke sant]}Ved å anta at den totale hydrauliske belastningen er sammensatt av matrisen og gravitasjonsbelastningen (H = h + z ), får vi:
∂θ∂t=∂∂z[K(∂h∂z+∂z∂z)]=∂∂z[K(∂h∂z+1)]{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K \ left ({\ frac {\ partial h} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial z} {\ partial z}} \ right) \ right] = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K \ left ({\ frac {\ delvis h} {\ partial z}} + 1 \ høyre) \ høyre]}Man får dermed den kunngjørte ligningen, kjent som "blandet formulering" (eller med to felt) av Richards ligning.
Formuleringer
Richards-ligningen brukes i mange miljøvitenskapelige artikler siden den beskriver strømmen i vadose-sonen, men dens ikke-lineære karakter er også av interesse for matematikere. Det finnes vanligvis i tre former. Den blandede formuleringen (sett ovenfor) involverer poretrykket og metningsgraden; men vi kan skrive det ved å vise bare ett felt: hydraulisk hode eller metningshastighet.
Lastligningen
VS(h)∂h∂t=∇⋅(K(h)∇H){\ displaystyle C (h) {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ left (K (h) \ nabla H \ right)}hvor C (h) [1 / L] er en funksjon som beskriver hastigheten på endring av metningsgraden som en funksjon av hydraulikkhodet:
VS(h)≡∂θ∂h{\ displaystyle C (h) \ equiv {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial h}}}Denne funksjonen kalles "spesifikk retensjonskapasitet" i litteraturen: den kan måles for forskjellige jordtyper ved å måle hastigheten på infiltrasjon av vann i en jordkolonne, som vist av van Genuchten (1980).
Ligningen med metningsgrader
∂θ∂t=∇⋅D(θ)∇θ{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot D (\ theta) \ nabla \ theta}der D ( θ ) [L 2 / T] er jordens hydrauliske diffusivitet :
D(θ)≡K(θ)VS(θ)≡K(θ)∂h∂θ{\ displaystyle D (\ theta) \ equiv {\ frac {K (\ theta)} {C (\ theta)}} \ equiv K (\ theta) {\ frac {\ partial h} {\ partial \ theta}} }Begrensninger
Å løse Richards-ligningen numerisk er fortsatt et av de vanskeligste numeriske analyseproblemene for naturvitenskapen. Richards 'ligning har dessuten blitt kritisert, noen ganger for overdreven sofistikering, noen ganger for sin "for forenklede" karakter; Uansett, den kaotiske oppførselen til løsningene er velkjent: man har ikke noe resultat av konvergens for en gitt konstituerende lov. Denne risikoen for ikke-konvergens begrenser den generelle anvendelsen av Richards-modellen, som også har blitt kritisert for det overdrevne stedet det gir kapillaritetsfenomener i vannoverføringer; selv for simulering av vertikal infiltrasjon av regnvann i tørr jord, er det nødvendig med et romtrinn mindre enn en cm nær overflaten, på grunn av den lille størrelsen på volumet som er representativt for flerfasestrømmer i det middels porøse. Når det gjelder tredimensjonale beregninger, er løsningen av Richards-ligningen følsom for jordens anisotropi: forholdet mellom horisontal og vertikal permeabilitet bør ikke synes å overstige mye 7 for at løsningen skal være stabil.
Merknader
-
LA Richards, " Kapillær ledning av væsker gjennom porøse medier, " Physics , vol. 1, n o 5,1931, s. 318–333 ( DOI 10.1063 / 1.1745010 , Bibcode 1931Physi ... 1..318R )
-
John Knight og Peter Raats , “ Lewis Fry Richardsons bidrag til dreneringsteori, jordfysikk og jord-plante-atmosfære-kontinuum, ” på EGUs generalforsamling 2016
-
Lewis Fry Richardson , Vær prediksjon ved numerisk prosess , Cambridge, The University Press,1922, 262 s. , s. 108
-
Celia, “ En generell massekonservativ numerisk løsning for umettet strømningsligning ”, Water Resources Research , vol. 26, n o 7,1990, s. 1483–1496 ( DOI 10.1029 / WR026i007p01483 , Bibcode 1990WRR .... 26.1483C )
-
M. Th. Van Genuchten , “ Et lukket-Form ligning for å forutsi hydrauliske ledningsevne Umettet Jordsmonn ”, Soil Science Society of America Journal , vol. 44, n o 5,1980, s. 892–898 ( DOI 10.2136 / sssaj1980.03615995004400050002x , Bibcode 1980SSASJ..44..892V , hdl 10338.dmlcz / 141699 )
-
Se Matthew W. Farthing og Fred L. Ogden, “ Numerical solution of Richards 'Equation: a review of advances and utfordringer ”, Soil Science Society of America Journal , vol. 81, n o 6,2017, s. 1257-1269.
-
Se WG Gray og S. Hassanizadeh, “ Paradokser og virkeligheter i umettet strømningsteori ”, Water Resour. Res. , vol. 27, n o 8,1991, s. 1847-1854.
-
Jf. D. Short, WR Dawes og I. White, ” Praktisk å bruke Richards ligning for generelle modeller for jord-vann-dynamikk. », Envir. Int'l , vol. 21, n o 5,1995, s. 723-730.
-
Jf MD Tocci, CT Kelley og CT Miller, " Nøyaktig og økonomisk løsning av det trykkhode form av Richards' ligning ved metoden til linjene ", Adv. Wat. Resour. , vol. 20, n o 1,1997, s. 1–14.
-
Jf. P. Germann, " Kommentar til" Teori for kildesvarende og fri overflatefilmmodellering av umettet flyt ", Vadose Zone J. , vol. 9, n o 4,2010, s. 1000-1101.
-
Jf. Charles W. Downer og Fred L. Ogden, “ Passende vertikal diskretisering av Richards ligning for todimensjonal modellering av vannskala ”, Hydrol. Proc. , N o 182003, s. 1-22 ( DOI 10.1002 / hyp.1306 ).
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">