I matematikk er et hyperbolsk problem eller hyperbolsk delvis differensialligning en klasse av partielle differensiallikninger (PDE) som modellerer forplantningsfenomener, og dukker for eksempel naturlig opp i mekanikken . En arketype av hyperbolsk delvis differensialligning er bølge ligningen :
Løsninger på hyperbolske problemer har bølgeegenskaper. Hvis en lokal forstyrrelse utføres på det opprinnelige datoen for et hyperbolsk problem, vil ikke punktene i rommet langt fra forstyrrelsen støtte følelsen umiddelbart. Forhold til en fast plass-tidspunkt, forstyrrelsene har en begrenset forplantningshastighet og bevege seg langs egenskapene av likningen. Denne egenskapen gjør det mulig å skille hyperbolske problemer fra elliptiske eller parabolske problemer , der forstyrrelsene i de innledende (eller kant) forholdene vil ha øyeblikkelige effekter på alle punktene i domenet.
Selv om definisjonen av hyperbolisitet er grunnleggende kvalitativ, er det presise kriterier som avhenger av familien til delvise differensialligninger.
En partiell differensialligning er hyperbolsk ved et punkt P når Cauchy problem er løsbar bare i et nabolag av P for en hvilken som helst innledende datasett på et ikke-karakteristisk hypersurface inneholdende P .
Den bølgeligningen :
er et hyperbolsk problem, uansett dimensjon.
Ved en lineær endring av variabler, hvilken som helst ligning av skjemaet
med F en vanlig funksjon og A , B , C reelle koeffisienter som bekrefter:
kan transformeres til en bølgeligning, bortsett fra lavere ordrer som ikke er representative for ligningens natur. Denne definisjonen bør sammenlignes med den for hyperbolskeglen .
Denne typen andreordens hyperbolske problemer kan bli til et hyperbolsk system med førsteordens differensiallikninger som de som er vurdert i resten av denne artikkelen.
Enten systemet i henhold til s delvise differensiallikninger av første orden for s funksjoner ukjent , med
med er kontinuerlig forskjellige funksjoner , vanligvis ikke-lineære.
Vi poserer for hver den jakobiske matrisen
.Dermed blir systemet omskrevet:
.Dette systemet sies å være hyperbolsk hvis matrisen for alt har reelle egenverdier og er diagonaliserbar .
Hvis matrisen A har to av to forskjellige virkelige egenverdier, er den diagonaliserbar, og vi snakker da om et strengt hyperbolsk system .
Det er en sterk sammenheng mellom hyperbolske problemer og bevaringsligninger . Vurder et skalar hyperbolsk problem ( s = 1 ) for funksjonen . Vi har da
Den ukjente u kan være en mengde som har en strøm . For å vise at denne mengden er konservert, integrerer vi på et domene
Hvis u og er ganske vanlige funksjoner, gjelder Ostrogradskis teorem, og vi får en bevaringslov for deg som er skrevet i form:
Denne balanse ligningen indikerer at endringen i referansevolumet (første sikt i ligningen) er lik mengden som kommer inn eller ut gjennom kanten (andre sikt).
Vi studerer i det følgende skalarproblemet med en dimensjon av rommet:
Ved å omskrive loven om bevaring i ikke-konservativ form
med c ( u ) = f ' ( u ) kommer det at egenskapene er løsningene til familien av differensiallikninger:
Dermed er u konstant langs linjene , som vi kaller karakteristiske linjer .
I tilfelle der f er lineær ( c ( u ) = c ), er de karakteristiske linjene parallelle, og løsningen er derfor en forplantning av den opprinnelige løsningen fremover med hastighet c , uten deformasjon:
Imidlertid, i det generelle tilfellet der c ikke er lineær, kan man ikke garantere den unike løsningen uten å mislykkes, fordi karakteristikkene kan krysse hverandre ved et punkt ( x , t ) . Dette er grunnen til at vi definerer starthastighetsfunksjonen for å studere muligheten for at to egenskaper som kommer fra to forskjellige punkter krysser samtidig.
Teorem - I tilfelle hvor starthastigheten øker og kontinuerlig, er det en unik løsning på det hyperbolske problemet.
DemonstrasjonBeviset ligger i det faktum at hvis c 0 er økende og kontinuerlig, er funksjonen biniv, noe som gjør det mulig å garantere eksistensen og det unike ved et punkt ξ ( x , t ) slik at:
Løsningen er da naturlig gitt av
Teorem - I tilfelle hvor starthastigheten er Lipschitzian , eksisterer det en unik løsning på det hyperbolske problemet lokalt i tid.
DemonstrasjonBeviset ligger i det faktum at hvis c 0 er lipschitzian, er funksjonen økende og derfor kontinuerlig bijektiv, forutsatt at parameteren t er mindre enn den omvendte av Lipschitz-konstanten på c 0 . Resten av beviset er identisk med det i forrige uttalelse.
For å avgjøre om en vanlig stykkevis løsning er en svak løsning av det studerte hyperbolske problemet, må den tilfredsstille Rankine-Hugoniot-forholdene:
Rankine-Hugoniot-forhold - Vurder en vanlig kurve. La u være en funksjon av klasse C 1 , avgrenset så vel som dets derivater, i og av klasse C 1 in
Da er u en svak løsning på problemet hvis og bare hvis:
Denne hopptilstanden blir ofte notert:
Kurven α beskriver her diskontinuitetsforløpet, og dens derivat α ' tilsvarer derfor hastigheten på løpet.
En lineær hyperbolsk løsning innrømmer nødvendigvis en unik løsning. I tilfelle av en ikke-lineær hyperbolligning, hvis eksistensen av korttidsløsningen ervervet, kan det være flere løsninger. En måte å velge en løsning blant de andre på er å pålegge at løsningen tilfredsstiller en ulik entropi. Dette kalles en entropisk løsning.
Mer presist er de entropiske løsningene definert som følger.
Vi kaller entropi-flyt entropipar for et par funksjoner som tilfredsstiller:
Man vil for eksempel sitere par entropi-flux av entropi av Kruzhkov, definert for k real:
Det er funksjonen η som dermed fungerer her som ekvivalent med entropi.
Vi kaller svak entropiløsning for en hvilken som helst begrenset funksjon u tilfredsstillende for ethvert entropi-entropi-fluxpar , følgende ulikhet i betydningen av fordelingene:
Denne forestillingen om entropi gjør det mulig å karakterisere en løsning og derfor sikre unikheten til den tilsvarende svake løsningen:
Teorem - For alle innledende data u 0 eksisterer det en unik svak entropiløsning på problemet.
(en) Andrei Polyanin (en) , Håndbok for lineære delvise differensialligninger for ingeniører og forskere , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002 ( ISBN 1-58488-299-9 )