Parabolsk delvis differensialligning
I matematikk , en annenordens lineær delvis differensialligning , hvis generelle form er gitt av:
∑Jeg,j=1ikkepåJegj(x)∂2f∂xJeg∂xj+∑Jeg=1ikkebJeg(x)∂f∂xJeg+vs.(x)f=h(x), x∈U⊂Rikke{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {a_ {ij} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {b_ {i} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}}} + c (\ mathbf {x}) f = h (\ mathbf {x}), \ \ \ \ mathbf {x} \ i U \ delmengde \ mathbb {R} ^ {n}}![{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {a_ {ij} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {b_ {i} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}}} + c (\ mathbf {x}) f = h (\ mathbf {x}), \ \ \ \ mathbf {x} \ i U \ delmengde \ mathbb {R} ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31282cd31a495e7f3e7da051cda8d0d509e55bc)
sies å være parabolsk ved et gitt punkt x i den åpne U hvis symmetriske kvadratisk matrise av koeffisientene i det andre orden, medgir n -1 ikke-null egenverdier og med samme fortegn og et null egenverdien , den egenvektor assosiert med sistnevnte, betegnet , er slik at , betegner vektoren til n første ordens koeffisienter.
PÅ(x)=(påJegj)1≤Jeg,j≤ikke{\ displaystyle A (\ mathbf {x}) = \ left (a_ {ij} \ right) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
v0(x){\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x})}
v0(x)⋅b(x)≠0{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {b} (\ mathbf {x}) \ neq 0}
b(x){\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x})}![{\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549e1dc3096ddf35d602ab02a941744a987724c4)
Eksempel
Et klassisk eksempel på en parabolsk differensialligning er varmeligningen :
∂T∂t-DΔT+SρVSP=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D \ Delta T + {\ frac {S} {\ rho C_ {P}}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D \ Delta T + {\ frac {S} {\ rho C_ {P}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c921228f3fad7f8462c5b8ef2108b06275d3650)
,
hvor D er den termiske diffusiviteten og C P den spesifikke varmen ved konstant trykk, S som betegner en kildebetegnelse for varmeproduksjon, T = T ( t , r ) temperaturen ved punktet r i rommet og på tiden t .
I dette tilfellet er matrisen A gitt av og innrømmer derfor en null egenverdi, og tre andre lik - D og derfor med samme tegn. I tillegg er egenvektoren assosiert med null egenverdi, det vil si (1,0,0,0) , tydeligvis ikke ortogonal mot vektoren .
(00000-D0000-D0000-D){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -D & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -D & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -D \ end {pmatrix }}}
b=(1,0,0,0){\ displaystyle \ mathbf {b} = (1,0,0,0)}![{\ displaystyle \ mathbf {b} = (1,0,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8315c4540b64836cd14a3bc26d588e18e435eded)
Merknader og referanser
-
H. Reinhard 2004
-
Hvis denne siste tilstanden ikke er bekreftet, vil ligningen degenerere.
Bibliografi
-
H. Reinhard, Partielle differensiallikninger, introduksjon , Paris, Dunod Université, koll. "Sup Sciences" ( repr. 2004) ( 1 st ed. 1991), 291 s. , paperback ( ISBN 978-2100484225 ).
- Maurice Gevrey, om partielle differensiallikninger av den parabolske typen , Gauthier-Villars, 1913
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">