Biharmonisk ligning

I analysen er den biharmoniske ligningen en delvis differensialligning av rekkefølge 4, som vises for eksempel i teorien om elastisitet . Den biharmoniske ligningen for en funksjon φ skrives:

∇4φ=Δ2φ=0{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = \ Delta ^ {2} \ varphi = 0}

hvor ∇ er nabla- operatøren og Δ den laplaciske operatøren . Operatøren Δ 2 er også kjent under navnet biharmonic eller bilaplacian operatør .

I det tredimensjonale tilfellet, i et kartesisk koordinatsystem , skrives den biharmoniske ligningen:

∂4φ∂x4+∂4φ∂y4+∂4φ∂z4+2∂4φ∂x2∂y2+2∂4φ∂y2∂z2+2∂4φ∂x2∂z2=0.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial x ^ {4}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial y ^ {4}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial z ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial y ^ {2} \ partial z ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial x ^ {2} \ partial z ^ {2}}} = 0.}

I et euklidisk rom med dimensjon n blir følgende forhold alltid bekreftet:

∇4(1r)=3(15-8ikke+ikke2)r5{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) = {\ frac {3 (15-8n + n ^ {2})} {r ^ {5}} }}

med r den euklidiske avstanden  :

r=x12+x22+⋯+xikke2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}}.

som for n = 3 er løsningen på den biharmoniske ligningen.

En funksjon som er løsning av den biharmoniske ligningen kalles en biharmonisk funksjon . Hver harmoniske funksjon er biharmonisk - det omvendte er ikke sant.

Den biharmoniske operatøren i polare koordinater er skrevet:

Δ2φ=1r∂∂r(r∂∂r(1r∂∂r(r∂φ∂r)))+2r2∂4φ∂r2∂θ2+1r4∂4φ∂θ4-2r3∂3φ∂θ2∂r+1r4∂2φ∂θ2=0.{\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ varphi = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial} {\ partial r }} \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial r}} \ right) \ høyre) \ høyre) + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ delvis ^ {4} \ varphi} {\ delvis r ^ {2} \ delvis \ theta ^ {2} }} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {4}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {\ partial ^ {3} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2} \ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0.}

Løsningen kan deretter oppnås ved å skille variablene  ; er Michell-løsningen  (i) .

For visse numeriske simuleringer vil man kunne bruke den diskrete versjonen av bilaplacianen. Δ2u=uJeg+2,j+uJeg-2,j+uJeg,j+2+uJeg,j-2+2(uJeg+1,j+1+uJeg+1,j-1+uJeg-1,j+1+uJeg-1,j-1)-8(uJeg+1,j+uJeg-1,j+uJeg,j+1+uJeg,j-1)+20uJeg,j{\ displaystyle \ Delta ^ {2} u = u_ {i + 2, j} + u_ {i-2, j} + u_ {i, j + 2} + u_ {i, j-2} +2 \ left (u_ {i + 1, j + 1} + u_ {i + 1, j-1} + u_ {i-1, j + 1} + u_ {i-1, j-1} \ høyre) -8 \ venstre (u_ {i + 1, j} + u_ {i-1, j} + u_ {i, j + 1} + u_ {i, j-1} \ høyre) + 20u_ {i, j}}

Referanser

• ( fr ) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Biharmonic equation  " ( se listen over forfattere ) .

Se også

Interne lenker

• Harmonisk funksjon
• Bilaplacian operatør

Eksterne linker

• (no) Eric W. Weisstein , "  Biharmonic ligning  " , på MathWorld

Bibliografi

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ( ISBN  1-58488-347-2 ) .
• SI Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering , Marcel Dekker, 2000. ( ISBN  0-8247-0466-5 ) .
• JP Den Hartog, Advanced Strength of Materials , Courier Dover Publications, 1. jul. 1987. ( ISBN  0-486-65407-9 ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">