Kac-Moody algebra

I matematikk er en Kac-Moody- algebra en Lie-algebra , vanligvis av uendelig dimensjon, som kan defineres av generatorer og relasjoner via en generalisert Cartan-matrise . Kac-Moody algebraer tar navnet sitt fra Victor Kac og Robert Moody , som uavhengig oppdaget dem. Disse algebraene er en generalisering av endedimensjonale semi-enkle Lie- algebraer, og mange egenskaper knyttet til strukturen til Lie-algebraer, spesielt dets rotsystem , dets irredusible representasjoner, dets koblinger med varianter av flagg har ekvivalenter i Kac-Moody system. En klasse Kac-Moody kalt Lie algebra affine (in) er spesielt viktig i matematikk og teoretisk fysikk , spesielt i de konsistente feltteoriene og helt integrerbare systemer . Kac har funnet et elegant bevis på visse kombinatoriske identiteter, Macdonald-identiteter (in) , basert på representasjonsteorien om affin Lie algebra. Howard Garland og James LePowSki (in) demonstrerte i sin tur at Rogers-Ramanujan-identitetene kunne bevises på samme måte.

Definisjon

En Kac-Moody-algebra bestemmes som følger:

En Cartan-matrise utbredt størrelse , av rang r . $n \ ganger n$ ${\ displaystyle C = (c_ {ij})}$
Et vektorrom på dimensjon 2 n - r . ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ $\ mathbb {C}$
Et sett med N vektorer tilgjengelige fra og et sett med n frie vektorer av den doble plass forbundet med , for eksempel , . De kalles coracines , mens de kalles røtter . $\ alpha_i$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle \ forall {i, j} \ in (\ {1 \ cdots \ n \}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*} (\ alpha _ {j}) = c_ {ij}}$ $\ alpha_i$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$

KAC-Moody algebra er det Lie algebra definert av generator vektorer og og elementene så vel som forholdet: ${\ mathfrak {g}}$ $e_i$ $f_ {i}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$

${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = \ alpha _ {i} \}$
${\ displaystyle \ forall {i} \ neq j, [e_ {i}, f_ {j}] = 0}$
${\ displaystyle \ forall {x} \ i {\ mathfrak {E}}, [e_ {i}, x] = \ alpha _ {i} ^ {*} (x) e_ {i}}$
${\ displaystyle \ forall {x} \ i {\ mathfrak {E}}, [f_ {i}, x] = - \ alpha _ {i} ^ {*} (x) f_ {i}}$
${\ displaystyle \ forall {x, x '} \ i {\ mathfrak {E}}, [x, x'] = 0}$
${\ displaystyle {\ textrm {ad}} (e_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (e_ {j}) = 0}$
${\ displaystyle {\ textrm {ad}} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}$

Hvor er vararepresentasjonen for . ${\ displaystyle {\ textrm {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ til {\ textrm {gl}} ({\ mathfrak {g}}), {\ textrm {ad}} (x) (y) = [x, y]}$ ${\ mathfrak {g}}$

En Lie-algebra (av uendelig dimensjon eller ikke) over feltet med reelle tall blir også betraktet som en Kac-Moody-algebra hvis dens kompliserte er en Kac-Moody-algebra.

Tolkning

Enten en subalgebra Cartan (en) algebra Kac-Moody. ${\ mathfrak {h}}$

Hvis g er et element i Kac-Moody-algebra slik at hvor er et element av , så sier vi at g har en vekt . Kac-Moody-algebraen kan diagonaliseres til egenvektorer av vekt. Cartans subalgebra har null vekt, har vekt og har vekt . Hvis Lie-kroken til to egenvektorer ikke er null, er vekten summen av vektene deres. Tilstanden betyr ganske enkelt at de er enkle røtter. ${\ displaystyle \ forall {x} \ i {\ mathfrak {h}}, [g, x] = \ omega (x) g}$ $\ omega$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ $\ omega$ ${\ mathfrak {h}}$ $e_i$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$ $f_ {i}$ ${\ displaystyle - \ alpha _ {i} ^ {*}}$ ${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {j}] = 0 \ \ forall {i} \ neq {j}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*}}$

Typer av Kac-Moody algebraer

Cartan-matrisen assosiert med Kac-Moody-algebra kan spaltes som produktet av to matriser D og S hvor D er en positiv diagonal matrise og S en symmetrisk matrise . Naturen til S bestemmer hvilken type Kac-Moody-algebra det er snakk om: ${\ mathfrak {g}}$

${\ mathfrak {g}}$ er en endelig dimensjonal enkel Lie algebra hvis S er positiv bestemt
${\ mathfrak {g}}$ er affin hvis S er positiv semidefinit av corang 1

Det er også en annen klasse av Kac Moody algebra kalt hyperbolske algebraer. S kan aldri være negativ eller negativ semidefinit siden dens diagonale koeffisienter er positive.

Disse typer Kac Moody algebraer er også preget av Dynkin-diagrammer :

vi kjenner den eksakte listen over Dynkin-diagrammer som tilsvarer enkle Lie-algebraer
når et hvilket som helst underdiagram av Dynkin-diagrammet av er diagrammet for en enkel Lie-algebra, så er det affinert ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$
når et hvilket som helst underdiagram av Dynkin-diagrammet av er diagrammet til en affin algebra, så er det hyperbolsk ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Affine algebras er de mest kjente av Kac-Moody algebrene.

Referanser

(en) AJ Wassermann, Kac-Moody og Virasoro Algebras , arXiv : 1004.1287
(no) Victor G. Kac , Infinite dimensional Lie algebras , CUP ,1994, 3 e ed. , 400 s. ( ISBN 978-0-521-46693-6 , online presentasjon )
(en) “Kac - Moody algebra” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lest online )
(no) VG Kac , “ Simple irreducible graded Lie algebras of endite growth ” , Math. Sovjetunionen Izv. , 2 nd -serien,1968, s. 1271-1311, Izv. Akad. Nauk USSR Ser. Mast. , flygning. 32, 1968, s. 1923-1967
(en) RV Moody , “ A new class of Lie algebras ” , J. of Algebra , vol. 10,1968, s. 211-230

Relaterte artikler

Algebra generalisert Kac-Moody (en)
Weyl karakterformel (in)