Den harmoniske analysen er en gren av matematikken som studerer representasjonen av funksjoner eller signaler som en superposisjon av grunnleggende bølger. Det utdyper og generaliserer forestillingene om Fourier-serier og Fourier- transform . De grunnleggende bølgene kalles harmoniske, derav navnet på disiplinen. I løpet av de to siste århundrene hadde den mange anvendelser innen fysikk under navnet spektralanalyse , og kjenner til nyere applikasjoner, særlig innen signalbehandling , kvantemekanikk , nevrovitenskap , stratigrafi ... Mekaniske harmoniske analysatorer ble opprettet rundt 1920 og grafisk mulig for å oppnå opptil 150 th koeffisient av en Fourier-ekspansjons .
Harmonisk analyse, historisk knyttet til utviklingen av Fourier-seriens teori, har mottatt et sett med moderne generaliseringer, spesielt takket være arbeidet til den russiske skolen i Gelfand , som plasserer den i en veldig generell og abstrakt sammenheng: for eksempel harmonisk analyse på løgnegrupper .
Den Fourier-rekke tar sikte på å dekomponere en periodisk funksjon inn i et "uendelig sum av trigonometriske funksjoner" av frekvenser som hver er et multiplum av en grunnfrekvens . Først analyserer vi “frekvensinnholdet”, kalt funksjonens spektrum . I følge hypotesene som kjennetegner funksjonen og det valgte analyserammeverket, tillater forskjellige teoremer at den blir komponert på nytt.
De Hilbertrom er en god ramme for å studere den Fourier-serie som gir en forbindelse mellom harmonisk analyse og funksjonell analyse .
Den Fourier-transformasjon generaliserer teorien av Fourier-rekker til ikke-periodiske funksjoner, og også tillater dem å bli forbundet med et frekvensspektrum . Sistnevnte gjelder da alle frekvenser. Dermed vil summeringen av de periodiske komponentene ta form av en integral.
Den klassiske Fourier-transformasjonen er fortsatt et felt for aktiv forskning, spesielt Fourier-transformasjonen på mer generelle gjenstander som tempererte distribusjoner . For eksempel, ved å pålegge begrensninger på en distribusjon, kan de reflekteres direkte i Fourier-transformasjonen. Den Paleys-Wiener teorem er et eksempel. Den umiddelbare konsekvensen av denne teoremet er at Fourier-transformasjonen av en ikke-null-fordeling med kompakt støtte aldri er med kompakt støtte. Det er en elementær form for Heisenberg usikkerhetsforhold .
En av de mer moderne grener av harmonisk analyse, startet i midten av XX th århundre, er analyse på topologiske grupper . Tanken er at Fourier-transformasjonen kan generaliseres til en transformasjon av funksjoner definert på lokalt kompakte grupper .
Teorien for lokalt kompakte abeliske grupper er Pontriagin-dualiteten . Harmonisk analyse studerer egenskapene til denne dualiteten og prøver å utvide dem til andre strukturer, for eksempel ikke-abeliske Lie- grupper.
Generelt, for lokalt kompakte ikke-abelske grupper, er harmonisk analyse knyttet til teorien om representasjoner av enhetsgrupper. For kompakte grupper forklarer Peter-Weyl-teoremet hvordan man får tak i harmonene ved å velge en irredusibel representasjon i hver ekvivalensklasse. Dette valget av harmoniske gjør det mulig å dra nytte av visse nyttige egenskaper ved Fourier-transformasjonen som forvandler konvolusjonsproduktet til et vanlig produkt og avslører den underliggende gruppestrukturen.
Hvis gruppen verken er abel eller kompakt , er det nå ikke kjent noen tilfredsstillende teori, dvs. i det minste tilsvarer Plancherels teorem . Men noen spesielle tilfeller er studert, for eksempel den lineære spesialgruppen SL n . I dette tilfellet spiller uendelige dimensjonale representasjoner en avgjørende rolle.