Gjenforeningens aksiom

I settet teori , at møtet aksiom (eller " summen av aksiom ") er et av de aksiomer av settet teori om Zermelo-Fraenkel , ZF. Han hevder at for ethvert sett A eksisterer det et sett som inneholder alle elementene i elementene til settet A , og bare disse (konteksten er den for en teori hvor alle objektene er sett, spesielt A er en sett med sett, ellers må det spesifiseres).

Dette aksiom tillater ved hjelp av aksiom innstilt effekt og erstatning av aksiomer ordning (som viser det aksiom sammenkobling den teoretiske Zermelo Z, slik at overflødig i ZF) for å demonstrere at foreningen av to sett (som inneholder nøyaktig de elementer av to sett) er et sett.

På det formelle språket til aksiomatisk ZF er aksiomet skrevet:

$\ forall A \ \ eksisterer B \ \ forall C \ {\ Big (} C \ i B \ Leftrightarrow \ eksisterer D \ (D \ i A \ kil C \ i D) {\ Big)}$ .

Klausul i parentes, med D blir brukt for å rapportere at C er et element av et bestemt sett, i seg selv en del av A . Dermed aksiomen sier vel, at gitt et sett A , er det et sett B hvis elementer er nettopp de elementer av elementene A . Den extensionality aksiom beviser at dette settet B er unik. Settet B kalles foreningen av A , og betegnes ∪ A. Så aksiomet sier egentlig at foreningen av alle elementene i et sett er et sett. I det spesielle tilfellet hvor A er det tomme settet, får vi mengden ∪∅ = ∅ (aksiomet er ikke nyttig for å bevise eksistensen av ∪∅).

Aksiomet for gjenforening eller et tilsvarende der vises i nesten alle andre aksiomer av mengdeteorien.

Det er ingen tilsvarende aksiom for krysset . I tilfelle hvor A er det tomme settet , er det ingen skjæringspunkt mellom A i ZF. På den annen side, hvis A har noe element B , kan settet dannes ved hjelp av skjemaet for forståelsesaksiomer . ${\ displaystyle \ cap A = \ {C \ in B \ mid \ forall D \ in A \ cdot \ C \ in D \}}$