Dirichlet karakter

I matematikk , og mer presist i modulær aritmetikk , er en Dirichlet-karakter en bestemt funksjon på et sett med kongruensklasser på heltall og med komplekse verdier .

Den ble brukt av Dirichlet til bevis på hans setning om aritmetisk progresjon .

Definisjoner

I denne artikkelen, n betegner et strengt positivt heltall og U den gruppen av enheter (ℤ / n ℤ) x av den ring ℤ / n ℤ . I feltet ℂ av komplekse tall blir konjugatet av et tall c betegnet med c .

Det er to definisjoner av en Dirichlet-karakter:

En Dirichlet-karakter modulo n er et tegn på den endelige gruppen (ℤ / n ℤ) × , dvs. en morfisme av grupper på (ℤ / n ℤ) × i multiplikasjonsgruppen ℂ * av ikke-null-komplekser.

I den andre definisjonen er et Dirichlet-tegn en bestemt type aritmetisk funksjon , dvs. anvendelse av settet ℕ * av strengt positive heltall i ℂ:

En Dirichlet-karakter modulo n er en aritmetisk funksjon som er:
- helt multiplikativ ;
- n - periodisk ;
- null på ikke-primærtall med n .

Tegnene χ i den første definisjonen er i tilknytning til tegnene χ 'i den andre: hvis klassen i ℤ / n ℤ til et helt tall d tilhører U, er χ' ( d ) bildet av χ av denne klassen og ellers , χ '( d ) = 0.

Hvis d er en divisor av n , kan en hvilken som helst Dirichlet-karakter modulo d sees på som en Dirichlet-karakter modulo n , ved sammensetning med projeksjonen (ℤ / n ℤ) × → (ℤ / d ℤ) × .

Vi sier at en Dirichlet-karakter modulo n er primitiv hvis den ikke kommer fra en Dirichlet-karakter modulo en streng divisor på n ; i dette tilfellet kalles n karakterens dirigent . Dette er spesielt tilfelle hvis kjernen er triviell , men omvendt er falsk: det er for eksempel et primitivt tegn for n = 12 av ikke-triviell kjerne.
Dirichlet-tegnet lik 1 på hovedtallene med n og 0 andre steder kalles hovedpersonen (eller ledertegnet 1) modulo n .
Det viktigste Dirichlet-tegnet modulo 1 (lik 1 på alle heltall) sies å være trivielt .

Eiendommer

Elementære egenskaper

Settet Û modulo n tegn danner en endelig abelsk gruppe isomorf til U. Spesielt:

De ikke-nullverdiene til tegnet er røtter φ ( n ) -te enhet . Faktisk er rekkefølgen på U φ ( n ), der φ betegner Euler-indikatoren .
Produktet av to tegn er ett tegn.
Den konjugat av et tegn er reversere sin karakter for multiplikasjon. Med andre ord (for ethvert tegn og ethvert element i U ): bildet av det omvendte er konjugatet av bildet.
Dirichlet-tegnene danner et ortonormalt grunnlag for ℂ - vektorrom ℂ U av funksjoner fra U i ℂ, for det Hermitiske produktet <,> definert av: ${\ displaystyle \ forall f, g \ in \ mathbb {C} ^ {U} \ quad \ langle f, g \ rangle = {\ frac {1} {\ varphi (n)}} \ sum _ {x \ in U} {\ overline {f (x)}} g (x).}$

Harmonisk analyse

Den Fourier-transformasjonen av en funksjon $f$ av ℂ U er en funksjon av u I ℂ definert ved: ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$

{\ displaystyle \ forall \ chi \ i {\ widehat {U}} \ quad {\ widehat {f}} (\ chi) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ sum _ {x \ in U} f (x) {\ overline {\ chi (x)}}.}

Den teoremet Plancherel uttrykker følgende likhet:

{\ displaystyle \ forall f \ in \ mathbb {C} ^ {U} \ quad f = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {U}}} {\ widehat {f}} (\ chi) \ chi.}

Legendre symbol

Virkelige verdier er morfismene fra U i {–1, 1} (enhetens eneste virkelige røtter). Hovedpersonen er den trivielle morfismen. De ikke-prinsipielle tegnene med reelle verdier er elementene i rekkefølge 2 i gruppen Û , isomorfe til U. De eksisterer så snart gruppens rekkefølge er jevn, derfor så snart n > 2 ifølge følgende proposisjon .

Hvis n er strengt større enn 2, er U av jevn orden.
Faktisk, hvis n er delelig med et primtall p > 2, så er φ ( n ) delbart med partall p - 1, og ellers er n lik 2 r hvor r er et helt tall som er strengt større enn 1 og φ ( n ) er lik 2 r - 1 .

Følgende proposisjon generaliserer konstruksjonen av Legendre-symbolet , som tilsvarer det spesielle tilfellet der n er primær og merkelig.

Hvis n er en styrke med et odde primtall, er det et enkelt virkelig verdsatt ikke-hovedkarakter.
I dette tilfellet er U (derfor også Û ) ikke bare av jevn orden, men også syklisk (jf. § "Tilfelle der n ikke er primær" i artikkelen "Ring ℤ / n ℤ" ) har derfor ett enkelt ordenselement 2.

Aritmetisk progresjonssetning

Dirichlet L-serien

Dirichlet L-serien er direkte generaliseringer av Riemann zeta-funksjonen og ser ut til å være fremtredende i den generaliserte Riemann-hypotesen .

Dirichlet serie L av en karakter , betegnet definert, for et hvilket som helst komplekst tall av reelle delen > 1, av absolutt konvergerende rekke: ${\ displaystyle \ chi \ i {\ widehat {U}}}$ ${\ displaystyle L (s, \ chi)}$ $s$

{\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {for eksempel}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad L (s, \ chi): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}}}

. Eksempel Hvis er hovedmodul 3-tegnet vist ovenfor, da .

\ chi

{\ displaystyle L (s, \ chi) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {0} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} { 4 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {0} {6 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s} }} + \ prikker}

Ved analytisk utvidelse kan funksjonen L utvides til en meromorf funksjon på det komplekse planet .

Euleriansk produkt

Funksjonen χ er fullstendig multiplikativ , en beregning som ligner den utført av Euler for zeta-funksjonen gjør det mulig å transformere serien L til et uendelig produkt indeksert av settet med primtall. Et slikt produkt bærer navnet "Eulerian product". ${\ mathcal {P}}$

{\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {for eksempel}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad L (s, \ chi) = \ prod _ {p \ i {\ mathcal {P}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s} \ chi (p)}}}

Som Eulers er dette uendelige produktet absolutt konvergent, slik at også følgende serie er konvergent og gir - som for funksjonen the, som tilsvarer χ = 1 - en gren av dens komplekse logaritme , c 'dvs. en holomorf funksjon på halvparten -plan Re (s)> 1, bemerket slik at : ${\ displaystyle \ log L}$ ${\ displaystyle \ exp (\ log L (s, \ chi)) = L (s, \ chi)}$

{\ displaystyle \ log L (s, \ chi) = \ sum _ {p \ i {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ venstre (p ^ {- s} \ chi (p) \ høyre) ^ {k}} {k}} = \ sum _ {p \ i {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ chi (p ^ {k})} {kp ^ {ks}}}}

applikasjon

Det opprinnelige målet med Dirichlet-tegn er å telle primtallene i en klasse m av U , som tilsvarer teoremet for regningsprogresjon .

Vi definerer en funksjon ω fra S × U i ℂ, der S betegner det komplekse halvplanet av tall hvis virkelige del er strengt større enn 1:

{\ displaystyle \ forall u \ i U \ quad \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {for eksempel}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad \ omega (s, u) = {\ frac {1} {\ varphi (n)}} \ sum _ {\ chi \ i {\ widehat {U}}} {\ overline {\ chi (u) }} \; \ log L (s, \ chi)}

Plancherels teorem ( se ovenfor ) gjør det mulig å uttrykke det i en annen form, takket være at verdien i ( s , m ) gir nok informasjon til å konkludere:

{\ displaystyle \ forall u \ i U \ quad \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {for eksempel}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad \ omega (s, u) = \ sum _ {p \ i {\ mathcal {P}}} \ quad \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {and} } p ^ {k} \ in u} {\ frac {1} {kp ^ {ks}}}.}

Demonstrasjon

Fix , betegne (absolutt konvergent) serie til høyre, og beregne Fourier-transformasjonen av . $s$ $h (u)$ $h$

{\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi (n)}} \, {\ widehat {h}} (\ chi) = \ sum _ {u \ in U} h (u) {\ overline {\ chi (u) }} = \ sum _ {u \ i U} \ sum _ {p \ i {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {and}} p ^ {k} \ in u} {\ frac {\ overline {\ chi (u)}} {kp ^ {ks}}} = \ sum _ {p \ i {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ overline {\ chi (p ^ {k})}} {kp ^ {ks}}} = \ log L (s, {\ overline {\ chi}})}

I henhold til Plancherels formel, er derfor lik Fourier-transformasjonen (definert som ovenfor, men ved å invertere U og Û ) av funksjonen , det vil si til . $h$ ${\ displaystyle \ chi \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ log L (s, \ chi)}$ ${\ displaystyle u \ mapsto \ omega (s, u)}$

Historie

Karakterene til Dirichlet og deres L-serie ble introdusert av Dirichlet , i 1831 , for å bevise sin teorem om uendelig primtall i aritmetiske progresjoner. Utvidelsen til holomorfe funksjoner ble utført av Bernhard Riemann .

Merknader og referanser

G. Lejeune Dirichlet , " Research of various applications of infinitesimal analysis to Theory of Numbers ", J. Reine angew. Matte. , vol. 19 og 21, 1839 og 1840
Pierre Colmez , Elementer av analyse og algebra (og tallteori) , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 s. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , les online ).
Nicole Berline og Claude Sabbah , zeta-funksjonen , Éditions École Polytechnique,2003, 193 s. ( ISBN 978-2-7302-1011-9 , les online ).
Colmez 2009 , s. 290.
Berline og Sabbah 2003 , s. 53.