Uendelig produkt

I matematikk , gitt en sekvens av komplekse tall , definerer vi det uendelige produktet av sekvensen som grensen , hvis den eksisterer, av delproduktene når $N$ har en tendens til uendelig; $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle a_ {0} a_ {1} \ prikker a_ {N}}$

notasjon: .

{\ displaystyle a_ {0} \ cdot a_ {1} \ cdot a_ {2} \ dots = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overset {\ text {def}} { =}} \ lim _ {N \ to \ infty} \ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {N} a_ {n}}

Konvergens av et uendelig produkt

Definisjon

I tilfelle hvor alle vilkårene i sekvensen er ikke-null, sier vi at det uendelige produktet, bemerket , konvergerer når sekvensen av delvise produkter konvergerer mot en ikke-null-grense ; Ellers sier vi at det uendelige produktet divergerer. ${\ displaystyle \ Pi a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ left (\ prod _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} \ right) _ {N}}$

I tilfelle konvergens

Hvis det uendelige produktet konvergerer, konvergerer rekkefølgen av begrepene til 1:

${\ displaystyle \ left (\ exist l \ in \ mathbb {C} ^ {*} \ quad \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = l \ right) \ Rightarrow \ lim _ { n \ til + \ infty} a_ {n} = 1}$ .

Det omvendte er usant (som moteksemplet $a n = e 1 / n viser$ ).

Klassisk studiemetode

For å studere uendelige produkter bruker vi vanligvis logaritmen til å "transformere" det uendelige produktet til en uendelig sum, som lettere kan håndteres.

Siden $a n$ har $en$ tendens til 1, eksisterer det en rang slik at . Vi kan derfor bruke den komplekse logaritmen , og det har vi $N \ in \ mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ forall n \ geqslant N \ quad | a_ {n} -1 | <1}$

{\ displaystyle \ prod _ {n = N} ^ {\ infty} a_ {n} = \ exp \ left (\ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ ln a_ {n} \ right)}

Det uendelige produktet konvergerer hvis og bare hvis serien til høyre konvergerer.

Vi kan dermed lettere studere konvergensen av uendelige produkter ved å stole på konvergenskriteriene for uendelige summer .

Helt konvergerende produkt

Et produkt sies å være helt konvergent hvis serien er, med andre ord hvis . Et absolutt konvergent produkt er derfor konvergent, og det er dessuten kommutativt konvergent. ${\ displaystyle \ Pi a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ ln (a_ {n})}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} | \ ln (a_ {n}) | <+ \ infty}$

Teorem - Et produkt er helt konvergent hvis og bare hvis serien er, med andre ord hvis ${\ displaystyle \ Pi (1 + b_ {n})}$ ${\ displaystyle \ Sigma b_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} | b_ {n} | <+ \ infty.}$

I tilfelle hvor serien er konvergent, er produktet konvergent hvis og bare hvis serien er. ${\ displaystyle \ Sigma b_ {n} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Pi (1 + b_ {n})}$ ${\ displaystyle \ Sigma b_ {n}}$

Vi vil se i eksemplene at betingelsen er viktig. ${\ displaystyle \ Sigma b_ {n} ^ {2}}$

Eksempler

Eksempler på divergerende uendelige produkter

Som det uendelige produktet divergerer mot 0. Vi trekker ut av dette divergensen i den harmoniske serien . ${\ displaystyle \ prod _ {n = 2} ^ {N} (1 - {\ frac {1} {n}}) = 1 / N}$ ${\ displaystyle \ prod _ {n = 2} ^ {\ infty} (1 - {\ frac {1} {n}})}$
Ditto for de som divergerer mot uendelig. ${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + {\ frac {1} {n}})}$
Divergensen av divergensen av summen av de gjensidige premiene , forårsaker et av de to tilsvarende uendelige produktene: og . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n} = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-1 / {p_ {n}}) = 0}$ ${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + 1 / {p_ {n}}) = + \ infty}$
${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}} \ right) = + \ infty}$ (fordi ) men vi kan merke oss at konvergerer. ${\ displaystyle a_ {2p} a_ {2p + 1} = 1-1 / (2p) + o (1 / p)}$ ${\ displaystyle \ Sigma {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}}}$

Eksempler på uendelige konvergerende produkter, men ikke absolutt konvergerende.

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} \ right) = 1}$ fordi men avviker. I dette tilfellet konvergerer også. ${\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {1} {2p}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {2p + 1}} \ right) = 1}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ left \ vert \ ln \ left (1 + {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} \ right) \ right \ vert}$ ${\ displaystyle \ Sigma {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}}}$
Det er sammenfallende produkteksempler der serien er divergerende. ${\ displaystyle \ Pi (1 + b_ {n})}$ ${\ displaystyle \ Sigma b_ {n}}$

Eksempler på klassiske konvergerende uendelige produkter

Blant de mest kjente eksemplene på uendelige produkter er følgende formler som uttrykker klassiske matematiske konstanter:

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}} }}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}} \ cdots = \ prod _ {n = 2} ^ {\ infty } {\ frac {1} {\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2 ^ {n}}} \ right)}}$ ( Viètes formel (1593) - dette er det første uendelige produktet som dukker opp i matematikkens historie)
${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {2.2} {1.3}} \ cdot {\ frac {4.4} {3.5}} \ cdot {\ frac {6.6} {5.7}} \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} \ right)}$ ( produkt av Wallis (1655) )
${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} = {\ frac {2 ^ {2}} {2 ^ {2} -1}} \ cdot {\ frac {3 ^ {2} } {3 ^ {2} -1}} \ cdot {\ frac {5 ^ {2}} {5 ^ {2} -1}} \ cdots = \ prod _ {p {\ text {først}}} { \ frac {p ^ {2}} {p ^ {2} -1}}}$ (på grunn av Euler, se Eulerian produkt )
${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {3} {3 + 1}} \ cdot {\ frac {5} {5-1}} \ cdot {\ frac {7} { 7 + 1}} \ cdot {\ frac {11} {11 + 1}} \ cdot {\ frac {13} {13-1}} \ cdots = \ prod _ {p {\ text {første odde}}} {\ frac {p} {p + (- 1) ^ {(p + 1) / 2}}}$ (på grunn av Euler, se Eulerian produkt )

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {2.2} {1.3}} \ cdot {\ frac {6.6} {5.7}} \ cdot {\ frac {10.10} {9.11}} \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4 (2n-1) ^ {2}} {4 (2n-1) ^ {2} -1}} \ right)}$ (Euler (1796), katalansk (1875))
${\ displaystyle \ mathrm {e} = {\ frac {2} {1}} {\ sqrt {\ frac {4} {3}}} {\ sqrt {\ sqrt {\ frac {6.8} {5.7}}} } {\ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {\ frac {10.12.14.16} {9.11.13.15}}}}} \ cdots}$ (Katalansk (1875))
${\ displaystyle \ mathrm {e} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} +1} {a_ {n}}} = {\ frac {2} {1} } \ cdot {\ frac {5} {4}} \ cdot {\ frac {16} {15}} \ cdot {\ frac {65} {64}} \ cdots}$ hvor er definert av , sekvens A007526 ; formelen kommer av det faktum at $(år)$ ${\ displaystyle a_ {0} = 0, a_ {n} = n (a_ {n-1} +1)}$ ${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {a_ {n} +1} {a_ {n}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {N} {\ frac { 1} {n!}}}$
${\ displaystyle \ ln 2 = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2} {1 + 2 ^ {1/2 ^ {n}}}} = {\ frac {2} { 1 + {\ sqrt {2}}}} \ cdot {\ frac {2} {1 + {\ sqrt {\ sqrt {2}}}}} \ cdot {\ frac {2} {1 + {\ sqrt { \ sqrt {\ sqrt {2}}}}} \ cdot \ cdots}$ ( Seidel (1871))

Andre eksempler

Et uendelig konvergerende "naturlig" produkt kan uttrykkes ved hjelp av de vanlige konstantene eller føre til opprettelse av nye, for eksempel:

${\ displaystyle \ prod _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ left (1- {1 \ over n ^ {2}} \ right)} = {1 \ over 2}}$
${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ left (1+ {1 \ over n ^ {2}} \ right)} = {\ sinh \ pi \ over \ pi}}$ , konstant A156648
${\ displaystyle \ prod _ {p {\ text {first}}} {\ left (1+ {1 \ over p ^ {2}} \ right)} = {15 \ over \ pi ^ {2}}}$ , konstant A082020

${\ displaystyle \ prod _ {n = 3} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) = 0.1149420448 \ prikker.}$ , Kepler-Bouwkamp konstant
${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cosh \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) = 2,1164655365 \ prikker.}$ , konstant A249673
${\ displaystyle \ prod _ {n = 2} ^ {\ infty} e {\ left (1- {1 \ over n ^ {2}} \ right) ^ {n ^ {2}}} = {\ pi \ over e ^ {3/2}}}$ , konstant A249673

Funksjoner uttrykt som uendelige produkter

Første eksempler

${\ displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ cos \ left (z / 2 ^ {n} \ right)}}$

Vi utleder Viètes formel ovenfor ved å sette $z = π / 2$ .

Ved å endre $z$ til $i z$ får vi:

${\ displaystyle \ sinh z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ cosh \ left (z / 2 ^ {n} \ right)}}$

Ved å ta inn den forrige formelen får vi Seidel- utvidelsen av logaritmen: ${\ displaystyle z = \ ln x}$

${\ displaystyle \ ln x = (x-1) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2} {1 + x ^ {1/2 ^ {n}}}}}$ , formel som gir, for $x = 2$ , uttrykket for $ln2$ ovenfor.
${\ displaystyle \ zeta (z) = \ sum _ {n \ geqslant 1} {\ frac {1} {n ^ {z}}} = \ prod _ {p \ operatorname {first}} {\ frac {p ^ {z}} {p ^ {z} -1}}}$ for $Re ( z )> 1$ , utvikling av den Riemann zeta-funksjonen i Euler produkt , noe som gir for $z = 2$ til utvikling av $π 2 / til 6$ ovenfor.
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geqslant 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {z}}} = \ prod _ {p \ operatorname {first} \ operatorname {odd}} {\ frac {p ^ {z}} {p ^ {z} + (- 1) ^ {(p-1) \ over 2}}}}$ for $Re ( z )> 1$ , gir, for $z \to 1$ , utvidelsen av $π / 4$ ovenfor.

Faktorisering av holomorfe funksjoner på det komplekse planet

Et hovedresultat på uendelige produkter er det faktum at en hvilken som helst heltallfunksjon $f$ (en hvilken som helst holomorf funksjon på hele det kompliserte planet ) blir et uendelig produkt av heltalsfunksjoner, som hver har maksimalt ett null (hver forsvinner maksimalt med en verdi).

Generelt, hvis $f$ har null rekkefølge $m$ ved opprinnelsen og andre nuller ved (telles med mangfold), så: ${\ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, u_ {2}, \ dots}$

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} \; {\ rm {e}} ^ {\ varphi (z)} \; \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1- {\ frac {z} {u_ {n}} \ høyre) \; \ exp \ left \ lbrace {\ frac {z} {u_ {n}}} + \ left ({\ frac {z} {u_ { n}}} \ høyre) ^ {2} + \ cdots + \ left ({\ frac {z} {u_ {n}}} \ høyre) ^ {\ lambda _ {n}} \ høyre \ rbrace}

hvor eksponentene er positive heltall som kan velges for å sikre konvergensen av serien, og er en unikt bestemt analytisk funksjon (som betyr at begrepet foran produktet ikke avbrytes på det komplekse planet). $\ lambda _ {n}$ ${\ displaystyle \ varphi (z)}$

Denne faktoriseringen er ikke unik, fordi den avhenger av valget av og ikke er spesielt elegant. For de fleste funksjoner er det imidlertid et minimalt heltall $p$ slik at det konstante valget gir et produkt som konvergerer, kalt den kanoniske produktformen , og når $p$ $= 1 samsvarer$ , får vi: $\ lambda _ {n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} = p}$

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} \; {\ rm {e}} ^ {\ varphi (z)} \; \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1- {\ frac {z} {u_ {n}}} \ høyre)}

Dette kan sees på som en generalisering av algebraens grunnleggende teorem fordi dette produktet blir endelig når det gjelder polynomer og når er en konstant funksjon. Denne formen tilsvarer den som er gitt av Weierstrass faktoriseringsteorem . $\ varphi$

Fremragende eksempler

Følgende formler kan gis som bemerkelsesverdige eksempler:

Den sinusfunksjon	$\ sin \ pi z = \ pi z \ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} \ Ikke sant)$	Euler - Wallis-utvidelsen for $π$ og √ 2 ovenfor kommer fra denne identiteten.
den cosinus funksjon	${\ displaystyle \ cos \ pi z = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {(n - {\ frac {1} {2} }) ^ {2}}} \ høyre)}$	Se
Den gammafunksjonen fra Euler	${\ displaystyle 1 / \ Gamma (z) = z \; \ mathrm {e} ^ {\ gamma z} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z } {n}} \ right) \; \ mathrm {e} ^ {- z / n}}$	Schlömilch

Merknader og referanser

Hvis en av begrepene i sekvensen er null, snakker vi generelt ikke om konvergens, selv om sekvensen av delprodukter er en stasjonær sekvens .
Srishti D. Chatterji, Analyse Course , vol. 2: Kompleks analyse , PPUR ,1997( les online ) , s. 345.
J. Lelong-Ferrand, JM Arnaudiès, Matematikk-kurs bind 2, ANALYSE , Dunod University,1977, s. 291-296
Chatterji 1997 , s. 348-349.
Léonard Euler, Introduksjon til uendelig minimal analyse , t. 1,1796( les online ) , s. 142.
E. Catalan, " On the constant of Euler and the function of Binet ", Journal of pure and anvendt matematikk ,1875, s. 209-240 ( les online ), s. 236 .
Katalansk 1875 , s. 231.
For en demonstrasjon, se for eksempel denne korrigerte øvelsen på Wikiversity .
(fra) Ludwig Seidel, " Uber eine Darstellung de Logarithmus durch unendliche Produkte " , Journal für die reine und angewandte Mathematik ,1871, s. 273-277 ( les online ).
(in) Paul Loya, fantastiske og estetiske aspekter ved analyse ,2006, 508 s. ( les online ) , s. 354.
L. Dreyfus, " Definisjon av sin z ved et uendelig produkt ", Nouvelles Annales de mathematique ,1904, s. 147-156 ( les online ).

Se også

Relaterte artikler

Ekstern lenke

(no) Eric W. Weisstein , “ Infinite Product ” , på MathWorld