Ramanujan-formodning

I matematikk , den Ramanujan formodning , på grunn av Srinivasa Ramanujans (og demonstrert ved Pierre Deligne i 1973), forutsier visse aritmetiske egenskaper samt den asymptotiske oppførselen av tau-funksjon at han er definert (i) . Den generaliserte Ramanujan-formodningen , eller Ramanujan-Petersson-formodningen , introdusert av Hans Petersson i 1930, er en generalisering av den til andre modulære eller automorfe former .

Ramanujans tau- og L-funksjoner

Den Riemann zeta-funksjonen og den Dirichlet L funksjoner er lik en Eulersk produkt (tatt over hele prim p , og hvor en er et tegn ),

{\ displaystyle L (s, a) = \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {a (p)} {p ^ {s}}} + {\ frac {a (p ^ {2} )} {p ^ {2s}}} + \ prikker \ høyre)}

(ligning 1);

disse karakterene er helt multipliserende , har vi også

{\ displaystyle L (s, a) = \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {a (p)} {p ^ {s}}} \ right) ^ {- 1}}

(ligning 2).

L-funksjonene til automatiske former bekrefter også ligning (1), men ikke ligning (2), hvor de tilsvarende "tegnene" ikke er fullstendig multiplikative. Ramanujan oppdaget imidlertid at funksjonen L til den modulære diskriminanten , kalt Ramanujans funksjon L , tilfredsstilte den modifiserte relasjonen

{\ displaystyle L (s, \ tau) = \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {\ tau (p)} {p ^ {s}}} + {\ frac {1} {p ^ {2s-11}}} \ høyre) ^ {- 1}}

(ligning 3),

der $τ ( p )$ er Ramanujan tau-funksjonen definert av Fourier-koeffisientene $τ ( n )$ av den parabolske formen $A ( z )$ av vekt $12$ (og derfor som koeffisientene for hele serien som tilsvarer det uendelige produktet ): ${\ displaystyle q \ prod _ {n> 0} \ left (1-q ^ {n} \ right) ^ {24}}$

{\ displaystyle \ Delta (z) = \ sum _ {n> 0} \ tau (n) q ^ {n} = q \ prod _ {n> 0} \ left (1-q ^ {n} \ right) ^ {24} = q-24q ^ {2} + 252q ^ {3} -1472q ^ {4} + 4830q ^ {5} - \ cdots,}

med . ${\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi iz}}$

Begrepet kan sees på som et feiluttrykk (kommer fra det tauet er ikke helt multiplikativt). ${\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {2s-11}}}}$

Ramanujans antagelser

Ramanujan observerte over et stort antall verdier at det kvadratiske polynomet en , som vises i ligning (3), alltid hadde to ikke-reelle røtter (konjugatkomplekser), og derfor at $|$ $τ$ $($ $p$ $) |$ $\leq 2$ $p$ $11/2$ ; det er denne ulikheten som kalles Ramanujan-formodningen . Ramanujan antok faktisk de følgende tre egenskapene til tau-funksjonen: $s$ ${\ displaystyle u = p ^ {- s}}$ ${\ displaystyle P (u) = 1- \ tau (p) u + p ^ {11} u ^ {2},}$

$τ$ er multiplikativ ,
$τ$ er ikke fullstendig multiplikativ, men for ethvert $p$ prim og $j$ heltall> 0 har vi: $τ ( p j +1 ) = τ ( p ) τ ( p j ) - p 11 τ ( p j -1 )$ , og
$| τ ( p ) | \leq 2 p 11/2$

Multiplikasjonstegnet til $τ$ (hvis det er bevist) gjør det mulig å utlede (for alle n ) det litt svakere resultatet, for alle $ε > 0$ :

{\ displaystyle \ tau (n) = O \ venstre (n ^ {{\ frac {11} {2}} + \ varepsilon} \ høyre)}

(der O er Landaus notasjon ).

I 1917 viste Louis Mordell de to første egenskapene ved hjelp av teknikker for kompleks analyse , spesielt Hecke-operatorer (in) . Den mye vanskeligere antagelsen om Ramanujan ble angrepet ved å merke en vag analogi mellom egenskapene til røttene til polynom P , tilnærmingen for og Riemann-hypotesen . Dette førte til en omformulering av antagelsen hovedsakelig på grunn av Michio Kuga (in) (med bidrag fra Mikio Satō , Gorō Shimura og Yasutaka Ihara (in) ) som tillot Pierre Deligne å bringe den tilbake til Weils gjetninger i 1968, og til slutt til en fullstendig bevis da antagelsene ble bevist av Deligne i 1973. Denne sammenhengen mellom de to problemene var å inspirere til grundig arbeid på slutten av 1960-tallet, da konsekvensene av tealjen om étal kohomologi ble studert. ${\ displaystyle \ tau (n)}$

Ramanujan-Petersson-formodningen for modulære former

I 1937 brukte Erich Hecke også Hecke- operatorer (en) til å generalisere Mordells resultater til automatiske L-funksjoner (en) av diskrete undergrupper $Γ$ av $SL (2, Z )$ . For enhver modulær form

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} q ^ {n} \ qquad q = e ^ {2 \ pi iz},}

vi kan bygge Dirichlet-serien

{\ displaystyle \ varphi (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}

For en modulær form $f ( z )$ av vekt $k \geq 2$ for $Γ$ , konvergerer $φ ( s ) seg$ absolutt i halvplanet $Re ( s )> k$ , fordi $a n = O ( n k -1+ ε )$ . Siden $f$ er av vekt $k$ , viser det seg at $( s - k ) φ ( s )$ er en heltallfunksjon , og at $R ( s ) = (2 π ) - s Γ ( s ) φ ( s )$ tilfredsstiller den funksjonelle ligningen :

{\ displaystyle R (ks) = (- 1) ^ {\ frac {k} {2}} R (s);}

(dette resultatet ble demonstrert av Wilton i 1929). Denne korrespondansen mellom $f$ og $φ$ er bindende ( $a 0 = (-1) k / 2 Res s = k R ( s )$ ). La $g ( x ) = f ( ix ) - a 0$ for $x > 0$ , så er $g ( x )$ relatert til $R ( s )$ ved Mellin-transformasjonen :

{\ displaystyle R (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (x) x ^ {s-1} dx \ Lefttrightarrow g (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i} } \ int _ {{\ text {Re}} (s) = \ sigma _ {0}} R (s) x ^ {- s} ds}

og dette kartlegger Dirichlet-serien som tilfredsstiller den ovennevnte funksjonelle ligningen til den automatiske formen av en diskret undergruppe av $SL (2, Z )$ .

Det er da mulig å formulere en mer generell formodning, kalt Ramanujan-Petersson-formodningen , for former for vekt $k$ , ved å erstatte eksponenten 11/2 av Ramanujan-formodningen med $( k - 1) / 2$ . Det er også en konsekvens av Weils antagelser, bortsett fra $k = 1$ , som ble behandlet uavhengig av Deligne og Serre i 1974.

Generaliseringer

Antagelsen for automatiske former

I 1966 omformulerte Ichirō Satake Ramanujan-Petersson-formodningen når det gjelder automatiske representasjoner av $GL (2)$ (ved å hevde at de lokale komponentene i representasjonene tilhører hovedserien), og foreslo at denne tilstanden kunne generalisere antagelsen til former av automorf. på andre grupper. I denne formen ble det funnet mange moteksempler, men Ilya Piatetski-Shapiro oppnådde i 1979 en forbedring av denne antagelsen (kjent som den generaliserte Ramanujan-antagelsen ) som ikke ble tilbakevist, og som Robert Langlands relaterte til sitt eget program .

Antagelsen om funksjonsfelt

Konstruksjonen av Vladimir Drinfeld av den globale Langlands-korrespondansen for $GL (2)$ på et globalt funksjonsfelt tillot å bevise Ramanujan-Petersson-gjetningen i dette tilfellet. Laurent Lafforgue lyktes i 2002 med å utvide teknikken til Drinfelds shtukas (en) til tilfellet $GL ($ $n$ $)$ i ikke-null karakteristikk; en annen teknikk tillot Lomelí å demonstrere antagelsene i 2009 for klassiske grupper .

applikasjoner

Den mest kjente anvendelsen av Ramanujan-formodningen er den eksplisitte konstruksjonen av visse grafer laget av Lubotzky , Phillips og Sarnak , grafer som har fått navnet " Ramanujan-grafer " av denne grunn. En annen applikasjon er at formodningen Ramanujan-Petersson for den generelle lineære gruppen $GL ( n )$ involverer Selberg (en) -formodningen angående Laplacian egenverdier for noen diskrete grupper.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Ramanujan - Petersson-antagelse " ( se forfatterliste ) .

(De) H. Petersson , " Theorie der automorphen Formen beliebiger reeller Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincaréscher Reihen " , Mathematische Annalen , vol. 103, n o 1,1930, s. 369-436 ( ISSN 0025-5831 , DOI 10.1007 / BF01455702 ).
(in) Srinivasa Ramanujan, " There sure arithmetical functions " , Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol. XXII, n o 9,1916, s. 159-184, s. 176 . Gjengitt i (i) Srinivasa Ramanujan, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Providence, RI, AMS Chelsea Publishing2000, 426 s. ( ISBN 978-0-8218-2076-6 , Matematiske anmeldelser 2280843 , leses online ) , "Paper 18" , s. 136-162.
Pierre Deligne, Bourbaki Seminar vol. 1968/69 Papers 347-363 , vol. 179, Berlin, New York, Springer-Verlag , koll. "Forelesningsnotater i matematikk",1971, 295 s. ( ISBN 978-3-540-05356-9 , DOI 10.1007 / BFb0058801 , les online ) , "Modular forms and l-adic representations"
Pierre Deligne, “ La conjecture de Weil. I. ”, Publ. Matte. IHES , vol. 43,1974, s. 273-307 ( ISSN 1618-1913 , DOI 10.1007 / BF02684373 , les online ).
Pierre Deligne og Jean-Pierre Serre, " modulære former av vekt 1 " Åsens , 4 th serien, vol. 7,1974, s. 507-530 ( ISSN 0012-9593 , les online ).
(i) Ichiro Satake , "Sfæriske funksjoner og Ramanujan-formodninger" i Armand Borel og George Mostow , algebraiske grupper og diskontinuerlige undergrupper (Boulder, Colo., 1965) , vol. IX, Providence, RI, koll. “Proc. Hyggelig. Ren matematikk. ",1966( ISBN 978-0-8218-3213-4 , Matematiske anmeldelser 0211955 ) , s. 258-264.
(i) Roger Howe (i) og II Piatetski-Shapiro , "Et moteksempel til den" generaliserte Ramanujan-formodningen "for (nesten) splittede grupper" i Armand Borel og W. Casselman, automorfe former, representasjoner og L-funksjoner (Proc Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), del 1 , Providence, RI, koll. “Proc. Hyggelig. Ren matematikk., XXXIII ",1979( ISBN 978-0-8218-1435-2 , Matematikkomtaler 546605 ) , s. 315-322.
(En) II Piatetski-Shapiro , “Multiplicity one theorems” , i Armand Borel og W. Casselman, Automorfe former, representasjoner og L-funksjoner (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), del 1 , Providence, RI, AMS , koll. “Proc. Hyggelig. Ren matematikk., XXXIII ",1979( ISBN 978-0-8218-1435-2 , matematiske anmeldelser 546599 ) , s. 209-212.
(in) L. Lomelí , " Functoriality for the classic groups over function fields " , International Mathematics Research Notices ,2009, s. 4271-4335 ( DOI 10.1093 / imrn / rnp089 , les online ).

Se også

(no) V. Blomer og F. Brumley , “ On the Ramanujan conjecture over number fields ” , Annals of Mathematics , vol. 174,2011, s. 581-605 ( DOI 10.4007 / annaler.2011.174.1.18 )
(no) JW Cogdell , HH Kim , II Piatetski-Shapiro og F. Shahidi , " Functoriality for the classic groups " , Publ. Matte. IHES , vol. 99,2004, s. 163-233 ( DOI 10.1007 / s10240-004-0020-z , les online )
(en) H. Jacquet , II Piatetski-Shapiro og JA Shalika , " Rankin-Selberg Convolutions " , Amer. J. Math. , vol. 105,1983, s. 367-464 ( DOI 10.2307 / 2374264 )
(en) HH Kim , “ Functoriality for the exterior square of GL (4) and symmetric 4th of GL (2) ” , JAMS , vol. 16,2002, s. 139-183
(en) Nobushige Kurokawa , “ Eksempler på egenverdier av Hecke-operatører på Siegel cusp former of degree two ” , Invent. Matte. , vol. 49, n o to1978, s. 149-165 ( DOI 10.1007 / BF01403084 )
(en) RP Langlands , “Problems in the theory of automorphic forms” , i Lectures in modern analysis and applications, III , vol. 170, Berlin, New York, Springer-Verlag, koll. "Forelesningsnotater i matematikk",1970( ISBN 978-3-540-05284-5 , DOI 10.1007 / BFb0079065 , Math Reviews 0302614 , les online ) , s. 18-61
(no) W. Luo , Z. Rudnick og P. Sarnak , “ Om den generaliserte Ramanujan-formodningen for GL (n) ” , Proc. Hyggelig. Ren matematikk. , vol. 66,1999, s. 301-310
(no) Peter Sarnak , "Notater om de generaliserte Ramanujan-formodningene" , i James Arthur , David Ellwood og Robert Kottwitz, Harmonisk analyse, sporingsformelen og Shimura-varianter , vol. 4, Providence, RI, AMS, koll. “Leire matematikk. Proc. ",2005( ISBN 978-0-8218-3844-0 , Math Reviews 2192019 , online presentasjon , les online ) , s. 659-685