Étale kohomologi

Den Etale er teorien cohomology av bjelker i forbindelse med spredning topologi . Det etterligner den vanlige oppførselen til klassisk kohomologi på matematiske objekter der det ikke er mulig, spesielt diagrammer og analytiske rom.

Historie

Étale kohomologi ble introdusert for skjemaene av Alexander Grothendieck og Michael Artin i SGA 4 og 4½ , med det formål å utføre en Weil-kohomologi og dermed løse Weils antagelser , mål delvis oppfylt, senere fullført av Pierre Deligne med introduksjonen av ℓ-adic kohomologi . Adjektivet "étale" refererer til forestillingen om spredt domene i kompleks analytisk geometri.

Opprinnelig introduserte Grothendieck i SGA 4 étale kohomologi i den mer generelle konteksten av nettsteder og topoi . I mange situasjoner er dette teoretiske apparatet imidlertid ikke nødvendig.

Senere ble en tale kohomologi for analytiske rom (spesielt det øvre p -adiske halvplanet ) utviklet av Vladimir Berkovich for Langlands-programmet .

Motivasjon

For å forstå behovet for en slik teori, handler det om å forstå hvordan den vanlige kohomologien er utilfredsstillende.

Vi kan observere hva som skjer hvis vi prøver å jobbe med den klassiske kohomologien (topologisk rom) i et skjema, for eksempel med Zariski topologi :

Hvis er en kompleks manifold og en konstant skive , har vi ikke det "naturlige" resultatet for alle i> 0 . $X$ ${\ mathcal {F}}$ $H ^ {{i}} (X, {\ mathcal F}) = 0$
Hvis er et d- dimensjonalt skjema eller Berkovich (en) -rom , er dets (topologiske) kohomologigrupper null fra ( d +1) -t inklusive, mens det som en kompleks algebraisk manifold av dimensjon d forventes at gruppene begynner null ved 2 d +1. $X$

Spred topologi

I en viss forstand er Zariskis topologi for grov til å redegjøre for kohomologi: den mangler åpninger.

Man kan imidlertid ikke "bare" legge til åpninger i Zariskis topologi. Den riktige måten å gjøre dette på er å assosiere en ordning som gir opphav til étale topologi (som er en Grothendieck-topologi ): vi betrakter étale morfismer (en) i et -skjema, med en usammenhengende forening av glatte manifolder og en lokal isomorfisme . Denne samlingen utgjør en kategori , a priori large, men faktisk tilsvarer en liten kategori , som er bemerket (morfismene er de til -skjemaet). $\ phi: U \ til X$ $X$ $U$ $\ phi$ ${\ text {Et}} (X)$ $X$

Étale kohomologi

Den kategori av bunter av abelske grupper på er en abelsk kategori som har nok injektiv morphisms. Vi noterer oss en gruppe abeliske grupper videre . Den funktor av globale seksjonene er igjen presis og dens avledede funktorer ${\ text {Et}} (X)$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ text {Et}} (X)$ $\ Gamma$

{\ mathcal F} \ mapsto H _ {{{\ text {et}}}} ^ {{i}} (X, {\ mathcal F})

kalles étale cohomology functors. Spesielt,

H _ {{{\ text {ét}}}} {0} (X, {\ mathcal F}) = \ Gamma ({\ mathcal F}) = {\ mathcal F} (X)

For ethvert naturlig tall n har vi for eksempel (bruker for eksempel kohomologien til Čech ):

H _ {{{\ text {et}}}} ^ {2} ({\ mathbb C} P ^ {1}, {\ mathbb Z} / n {\ mathbb Z}) = {\ mathbb Z} / n {\ mathbb Z}

På den annen side, hvis det er en kompleks manifold , tilsvarer spredte Betti- tall de vanlige Betti-tallene med koeffisienter i et endelig felt : $X$ $X ({\ mathbb C})$

{\ mathrm {dim}} _ {{{\ mathbb F} _ {q}}} H _ {{{\ text {et}}}} ^ {{2i}} (X, {\ mathbb F} _ { q}) = {\ mathrm {dim}} _ {{{\ mathbb F} _ {q}}} H ^ {{2i}} (X ({\ mathbb C}), {\ mathbb F} _ {q })

Hvis vi vil jobbe med torsjonsfrie koeffisienter, må vi påkalle en grense : det er opprinnelsen til den ℓ-adiske kohomologien

H _ {{{\ text {et}}}} ^ {i} (X, {\ mathbb Q} _ {{\ ell}}) = \ left (\ lim _ {n} H _ {{{\ tekst {et}}}} ^ {i} (X, {\ mathbb Z} / \ ell ^ {n} {\ mathbb Z}) \ høyre) \ tid _ {{{\ mathbb Z} _ {{\ ell }}}} {\ mathbb Q} _ {{\ ell}}

applikasjoner

Foruten beviset for visse Weil-antagelser , er det en ekvivalent av Poincarés dualitet , Künneths formel og Chern's klasseteori . Ved å definere partir-adic cohomology fra étale cohomology, var Deligne i stand til å fullføre beviset på Weils antagelser om zeta-funksjonen .

Hvis Y er spekteret av et felt k i den absolutte Galois-gruppen G , tilsvarer den opplagte kohomologien kohomologien til G , nemlig Galois-kohomologien til k .

Den Deligne-Lusztig teori (i) er avhengig av den ℓ-ADIC cohomology med kompakt støtte til å produsere fremstillinger lineær av Lie grupper ferdige, fra hvilke han var i stand til å etablere klassifiseringen av alle representasjoner av alle gruppene av endelig enkel Lie typen .

Henvisning

Luc Illusie , Grothendieck og étale cohomology