I matematikk sies et topologisk rom å være kontraktilt hvis det tilsvarer et punkt homotopisk . Alle homotopigruppene er derfor trivielle , det samme er homologigruppene av grad> 0.
Ethvert normalisert vektorrom (eller til og med: ethvert topologisk vektorrom på ℝ ) er kontraktilt, og begynner med den virkelige linjen og det komplekse planet .
Mer generelt er enhver stjernemerket del av et slikt rom (spesielt: ikke-tom konveks , for eksempel et reelt intervall eller en disk ) tydelig kontraktil.
Den membran av en hvilken som helst topologisk rom er kontraktile.
Den n -sphere S n er ikke kontraktile selv om, for n ≥ 2, er det enkelt forbindes .
Faktisk er en kompakt manifold med dimensjon n> 0 aldri kontraktil. Se vedlegget til, hvor dette resultatet kalles "grunnleggende teorem for differensial topologi."
Den enhet sfære av en uendelig dimensjonale Hilbert plass H er kontraktile (og til og med diffeomorphic til H ). Mer generelt, i ethvert normert vektorrom med uendelig dimensjon, er enhetssfæren kontraktil.
Et CW-kompleks der alle homotopigrupper er trivielle er kontraktile. Det er derfor det samme for en manifold M i klasse C ∞ . Videre er identitetskartet til M i dette tilfellet homotopisk til et konstant kart ved en homotopi, ikke bare kontinuerlig, men av klasse C ∞ . Så snart to glatte kart mellom glatte manifolder kontinuerlig er homotopiske, er de C ∞- homotopic.
Den "polske sirkelen", oppnådd ved å legge til den lukkede sinuskurven til topologen, en bue som forbinder (0, –1) til (1, sin 1), er ikke kontraktil, selv om alle homotopigruppene er trivielle.
Det er mellomrom som, selv om de er kontraktile, det vil si trekke seg tilbake ved deformasjon på (et underområde redusert til) et punkt, ikke trekker seg sterkt inn ved deformasjon på et punkt.
La X være et upålitelig topologisk rom. Følgende utsagn er ekvivalente: