CW-kompleks

I algebraisk topologi er et CW-kompleks en type topologisk plass , definert av JHC Whitehead for å møte behovene til homotopiteori . Tanken var å jobbe med en klasse av objekter som er større enn for enkle komplekser og ha bedre egenskaper fra kategoriets teori , men å presentere som dem kombinatoriske egenskaper som gir seg til beregninger .

Navnet CW kommer fra kvalifiseringen av det topologiske rommet, på engelsk : c losure-finite w eak topology , for “with finite closure” og “weak topology”.

Definisjoner

Grovt oppnås et CW-kompleks fra et sett med 0-celler, eller "hjørner", ved suksessivt liming av lukkede "celler" ( kontinuerlige bilder av lukkede euklidiske kuler ) med dimensjonene 1, 2,…, langs kantene .

Mer presist, en struktur av CW-kompleks på et rom X er dataene for en økende sekvens ( X n ) av underrom ( X n kalles n- skjelettet til X ) slik at:

0-skjelettet er et ikke-fritt diskret rom ;
for alle n > 0 er n- skjelettet homomorf til rommet som oppnås ved å feste en familie av n- lukkede kuler til ( n - 1) -skjelettet, langs kantene (som er ( n - 1) - kuler ), ved valg av limingsapplikasjon;
skjelettene danner en grunnleggende overlapping av X , dvs. de overlapper X og en del er lukket i X hvis og bare hvis, for alle n , dens skjæringspunkt med den n -skeleton X n er stengt i X n (herav navnet “ svake topologi ”).

Vi viser det da:

hver " åpen celle " (det vil si hvert bilde av det indre av en ball som er lukket av en av limene) er kanonisk homeomorf til den tilsvarende åpne ballen;
åpne celler og hjørner danner en partisjon av X ;
X er atskilt ;
enhver kompakt av X (spesielt en lukket celle) krysser bare et endelig antall åpne celler (derav navnet "med endelig lukking").

Den n- skjelett X n er foreningen av n- lukkede celler av størrelse mindre enn eller lik n . Hvis X reduseres til X n , sies det at den har dimensjon n (den sies å være uendelig dimensjon hvis den ikke er redusert til noen av skjelettene). X sies å være ferdig hvis den bare har et endelig antall celler.

En lukket forening av X- celler kalles et X-subkompleks (dette er igjen et CW-kompleks). Den n -skeleton av X er derfor den maksimale subcomplex av dimensjon som er mindre enn eller lik n .

Definisjonen av et cellekompleks er mer generelt ved at det tillater ombinding av celler i hvilken som helst rekkefølge med hensyn til dimensjoner, men ethvert cellekompleks er homotopisk ekvivalent med et CW-kompleks.

Eksempler og moteksempler

Standard CW-kompleks struktur (av dimensjon 1) på den virkelige linjen har for 0-skjelettet mengden ℤ av relative heltall og for 1-celler intervallene [ n , n + 1] for heltall n . På samme måte er standardstrukturen over ℝ n , av dimensjon n , gitteret som har kubiske celler produsert fra 0- og 1-celler av ℝ.
Ethvert forenklet kompleks , spesielt polyeder eller graf , er naturlig utstyrt med en CW-kompleks struktur. ( Kubiske grafer er på en måte "generiske" 1-dimensjonale CW-komplekser.) Men det er ikke-trekantede CW-komplekser.
Den enkleste CW-strukturen til n- sfære S n har to celler: en 0-celle og en n -celle , som er nok til å beskrive CW-komplekset. Vi kan bygge mange andre, ta som ( n - 1) - skjelett S n - 1 (forsynt med en av dens CW-strukturer, etter ønske), og tjene som en ekvator, hvor vi limer to halvkuler: to n - celler, langs kartleggingsidentiteten til S n - 1 .
Den virkelige projeksjons plass P n (ℝ) har en CW-struktur med en celle i hver dimensjon som er mindre enn eller lik n : vedlegget anvendelse av dets n -celle til den ( n - 1) -skeleton P n - 1 (ℝ ) er den kanoniske projeksjonen av S n - 1 på sin 2-kvotient P n - 1 (ℝ).
De Grassmannians har en CW-kompleks struktur der cellene er indeksert av Schubert symboler .
Hver differensialmanifold og hvert komplekst algebraisk manifold har homotopitypen til et CW-kompleks.
En rekke banach av uendelig dimensjon er aldri et CW-kompleks (fordi det er et Baire-rom, så det kan ikke skrives som en tellbar forening av n- squelettes, som hver er et lukket vakuum inni), men når det er metrisk , har det homotopietypen til et CW-kompleks.
Plassen { r e 2πiθ | 0 ≤ r ≤ 1, θ ∈ ℚ} ⊂ ℝ 2 har homotopietypen til et punkt, men har ikke en CW-kompleks struktur, fordi det ikke er lokalt kontraktilt .
Den hawaiiske øreringen har ikke engang homotopietypen til et CW-kompleks fordi den ikke er semi-lokalt kontraktil, eller til og med semi-lokalt bare relatert .

Eiendommer

Ethvert CW-kompleks er lokalt kontraktilt.
Enhver kompakt av en CW-kompleks X er inneholdt i en begrenset subcomplex og X er kompakt generert . Den er kompakt hvis og bare hvis den er ferdig.
Ethvert CW-kompleks er parakompakt og derfor normalt . Det er til og med helt normalt .
Et CW-kompleks er lokalt kompakt hvis og bare hvis det er "lokalt endelig", det vil si om dets dekning av lukkede celler er lokalt endelig , eller hvis en lukket celle bare møter et endelig antall. Lukkede celler , eller hvis noen punkt er inne i et endelig underkompleks.
Et CW-kompleks er koblet til hvis og bare hvis 1-skjelettet er. I dette tilfellet kan det måles hvis og bare hvis det er lokalt ferdig.
Produktet X x Y av to CW-komplekser er CW kompleks bygget på det kartesiske produktet av X og Y , og hvor hver celle er et produkt av en celle X ved en celle Y . Dens topologi er den for produktet i kategorien av kompakt genererte mellomrom . Det er generelt finere enn produkttopologien , men sammenfaller med sistnevnte i de vanligste tilfellene: det er tilstrekkelig at X eller Y er endelig eller at X og Y er tellbare, og det er til og med tilstrekkelig at disse egenskapene blir verifisert lokalt .
Ethvert kvotient skilt fra et CW-kompleks med en "cellulær" ekvivalensrelasjon er et CW-kompleks (for eksempel: enhver identifisering av et møte med underkomplekser på et punkt, som i kjeglen eller suspensjonen , eller til og med smash-produktet av to CW-komplekser når produktet deres er ett). Mer generelt er enhver liming X ∪ f Y et CW-kompleks på et annet langs en mobilapplikasjon et CW-kompleks.
Ethvert belegg av et CW-kompleks er fremdeles et CW-kompleks.
Det er ikke nok at X og Y er CW-komplekser for at rommet C ( X , Y ) for kontinuerlige kartlegginger fra X til Y (forsynt med kompakt-åpen topologi ) er en. Men hvis X og Y har homotopietypen CW-komplekser, og hvis X er kompakt, har C ( X , Y ) homotopietypen CW-kompleks.

Homologi og kohomologi

Den enestående kohomologien og homologien til CW-komplekser er lett å beregne via cellehomologi , som er en homologisk teori for kategorien CW-komplekser og mobilapplikasjoner. For å beregne et (co) homologi ekstraordinært et CW-kompleks, er den spektrale sekvensen til Atiyah - Hirzebruch analog med den cellulære homologien.

Eksempler valgt fra de spesifikke CW-kompleksene nevnt ovenfor :

For sfæren S n ( n > 0), hvis vi velger nedbrytningen i bare en 0-celle og en n -celle , blir komplekset av cellekjeder C ✻ og dens homologi gitt av: $H_ {k} (S ^ {n}) = C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} k \ in \ {0, n \}, \\ 0 & {\ text {ellers,}} \ end {cases}}$ siden alle differensialene er null.
Vi finner selvsagt den samme homologien ved å bruke for eksempel ekvatorial spaltning på en rekursiv måte , derfor med to celler i hver dimensjon fra 0 til n , som gir som kompleks av strenger $C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^ {2} & {\ text {si}} 0 \ leq k \ leq n, \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end { saker}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ partial _ {k} = {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}},$ nøyaktig unntatt i C 0 og C n .
For det virkelige projiserende rommet P n (ℝ) gir den samme metoden: $C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} 0 \ leq k \ leq n \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end {cases}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ partial _ {k} = 1 + (- 1) ^ {k}: C_ {k} \ to C _ {{k-1}} \ quad$ derfor $H_ {k} (P_ {n} (\ mathbb {R})) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} k = 0 {\ text {ou si}} k = n {\ text {odd,}} \\\ mathbb {Z} _ {2} og {\ text {si}} k {\ text {odd}} \ in] 0, n [, \\ 0 & {\ tekst {ellers.}} \ end {cases}}$

Noen homotopiekvivalenser, kalt simple (en) , tillater at et CW-kompleks X erstattes av et annet, med færre celler.

1-skjelettet til X er en graf. La F være en maksimal skog (en usammenhengende forening av trær ) i denne grafen. Ved å merke x ∼ y når x og y er i samme tre i denne skogen, er kartet X → X / ∼ en homotopiekvivalens fordi trærne er kontraktile. Kvotienten X / ~ er et CW kompleks hvis celler er celler av X som ikke finnes i F . Spesielt er 1-skjelett av X / ~ er et usammenhengende forening av klynger av sirkler. For eksempel hvis X var koblet til, vil 0-skjelettet til X / ∼ reduseres til et punkt.

Gå opp på tilkoblingsskalaen , anta nå at X er et enkelt tilkoblet CW-kompleks hvor 0-skjelettet er redusert til et punkt. Vi kan da finne et homotopisk ekvivalent CW-kompleks hvis 1-skjelett også er en singleton. For å gjøre dette vurderer vi X 1 og vedlegg av 2-cellene som en gruppepresentasjon, og vi etterligner Tietze-transformasjonene (tillegg og uttak av generatorer og relasjoner, modifisering av en presentasjon uten å endre gruppen) ved celletilsetninger og slettinger.

For å transformere et n- koblet CW-kompleks X til et homotopisk ekvivalent CW-kompleks hvis n- skjelett er en singleton, bruker vi for n > 1 de samme ideene, og erstatter Tietze-transformasjonene på en presentasjon av den grunnleggende gruppen ved elementære operasjoner på matrisene presenterende celle kompleks X .

Den homotopic kategori (en) av spisse CW-komplekser (eller deres varianter nedenfor) er en egnet ramme for homotopiteori:

mellomrommene som har homotopietypen til et CW-kompleks, eller et forenklet kompleks, eller med et absolutt tilbaketrekking av nabolaget , er de samme;
enhver inkludering av CW-komplekser er en kofibrering ;
cellulær tilnærming ( tommer ) : enhver kontinuerlig kartlegging mellom CW-komplekser er homotopisk med celleimplementering ;
Whiteheads teorem : for at et kontinuerlig kart mellom CW- tilkoblede komplekser skal være en homotopiekvivalens , er det (nødvendig og nødvendig) at morfismene det induserer på homotopigruppene er isomorfismer ;
den Brown representability teorem (i) gir en enkel karakterisering av funktorer være representert i denne kategorien.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " CW complex " ( se listen over forfattere ) .

(i) JHC Whitehead , " Kombinatorisk homotopi. Jeg ” , Bull. Bitter. Matte. Soc. , vol. 55,1949, s. 213-245 ( les online ).
(i) JHC Whitehead , " Kombinatorisk homotopi. II ” , Bull. Bitter. Matte. Soc. , vol. 55,1949, s. 453-496 ( les online ).
Michel Zisman, Elementær algebraisk topologi , Armand Colin ,1972, s. 113.
(no) Allen Hatcher , algebraisk topologi , CUP ,2001( ISBN 978-0-521-79540-1 , leses online ) , s. 5.
Zisman 1972 , s. 114 og 119.
Hatcher 2001 , s. 519-521.
(in) J. Peter May og Kathleen Ponto More Concise Algebraic Topology: Localization, Completion, and Model Categories , UCP ,2011, 544 s. ( ISBN 978-0-226-51179-5 , online presentasjon ) , s. 52 og 358.
(i) AT Lundell og S. Weingram , Topologien til CW-komplekser , Van Nostrand,1969( ISBN 978-0-442-04910-2 , leses online ) , s. 81 gir et eksempel som er et endelig CW-kompleks av dimensjon 3.
(in) Allen Hatcher, Vector Bundles and K-Theory ,2009( les online ) , s. 31-34.
(in) Richard S. Palais , " Homotopy theory of infinite dimensional manifolds " , Topology , vol. 5,1966, s. 1-16 ( les online ).
(in) Bruce Hughes og Andrew Ranicki , Ends of complexes , CUP,1996, 353 s. ( ISBN 978-0-521-57625-3 , online presentasjon ) , s. 81.
Zisman 1972 , s. 120.
Hatcher 2009 , s. 35.
Lundell og Weingram 1969 , s. 9 og 51-53.
(en) Hans-Joachim Baues og Antonio Quintero, Infinite Homotopy Theory , Springer ,2001, 296 s. ( ISBN 978-0-7923-6982-0 , online presentasjon ) , s. 140.
(i) Yoshio Tanaka, " Produkter av CW-komplekser " , Proc. Bitter. Matte. Soc. , vol. 86,1982, s. 503-507 ( les online ).
Lundell og Weingram 1969 , s. 32, 35, 59-60 og 62.
Hatcher 2001 , s. 529.
(i) John Milnor , " We spaces HAVING the homotopy kind of a CW-complex " , Trans. Bitter. Matte. Soc. , vol. 90,1959, s. 272-280 ( les online ).
JHC Whitehead, “ Simple Homotopy Typer, ” Amer. J. Math. , vol. 72, n o 1,Januar 1950, s. 1-57 ( les online ).
(en) Rudolf Fritsch (de) og Piccinini Renzo, Cellular Structures in Topology , CUP,1990, 326 s. ( ISBN 978-0-521-32784-8 , online presentasjon ) , s. 226.
Lundell og Weingram 1969 , s. 68.

Se også

Relaterte artikler

Anse (matematikk)
Kirurgi (topologi)
Space Moore (en)
Reidemeister torsjon (in)
Torsion Whitehead (in)
Postnikov-tårnet

Bibliografi

(no) Max K. Agoston , Computer Graphics and Geometric Modelling , vol. 2, Springer,2005, 959 s. ( ISBN 978-1-85233-817-6 , online presentasjon ) , kap. 7 ("Algebraisk topologi")
(en) G. Burde og H. Zieschang , "Utvikling av konseptet med et kompleks" , i IM James , History of Topology ,1999( les online ) , s. 103-110