n- sfære
I geometri er hypersfæren en generalisering av sfæren til et euklidisk rom av enhver dimensjon . Det utgjør et av de enkleste eksemplene på mangfold og sfære av dimensjon n , eller n- sfære , er mer presist en overflate av det euklidiske rommet , bemerket generelt .
Rikke+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}
Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}![{\ mathbb S} ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c00c9d3635f5230e6ac11902a50f2323794ed6)
Definisjon
La E være et euklidisk rom med dimensjon n + 1, A et punkt på E og R et strengt positivt reelt tall . Hypersphere kalt sentrum A og radius R settet av punktene M hvis avstand til A er R .
Gitt et affint ortonormalt koordinatsystem , selv om det betyr å utføre en oversettelse , som ikke endrer noe til de geometriske egenskapene, er det mulig å redusere til en hypersfære sentrert i utgangspunktet, hvis ligning deretter skrives
∑Jeg=1ikke+1xJeg2=R2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}![{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3032b84585f522834d6d5fb54dd08e9388b8bb)
.
For eksempel :
- for tilfellet n = 0 består hypersfæren av to respektive abscissapunkter R og - R ;
- for tilfellet n = 1 er hypersfæren en sirkel ;
- for tilfellet n = 2 er hypersfæren en sfære i vanlig forstand.
(For en parameterisering av den slik definerte overflaten , se “ Hypersfæriske koordinater ”.)
Eiendommer
Volum
Volumet (eller mer presist Lebesgue-målet ) av rommet avgrenset av en hypersfære av dimensjon n - 1 og radius R , som er en euklidisk ball med dimensjon n , er lik:
Vikke=πikke/2RikkeΓ(ikke/2+1){\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ over \ Gamma (n / 2 + 1)}}![{\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ over \ Gamma (n / 2 + 1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f6792a5ae7b1d8ae1eeb93f04b23ebb3c6edd8)
,
hvor betegner gammafunksjonen . Spesielt har vi:
Γ{\ displaystyle \ Gamma}![\ Gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
|
n selv |
n rart
|
---|
Vikke{\ displaystyle V_ {n}}![V_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebc5a637019ce3415183f06995aeeca93547767) |
πikke2Rikke(ikke2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e5cbfa9484b240cce8c8576942a5ac49fe9808) |
2(ikke+1)/2πikke-12Rikke1⋅3⋅⋯⋅ikke{\ displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot ikke}}}
|
---|
Følgende tabell gir volumverdiene til de første 8 kulene i dimensjon n og radius 1:
ikke |
Volumverdi
|
---|
nøyaktig |
nærmet seg
|
---|
1 |
2{\ displaystyle 2}![2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) |
2{\ displaystyle 2}
|
2 |
π{\ displaystyle \ pi}![\ pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a) |
3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
|
3 |
43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi}![{\ frac 43} \ pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e16607a7a49c43c3572104f0109233d2c71def) |
4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
|
4 |
12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}}![{\ frac 12} \ pi ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3906f03ef769bc5e34366cb46f0d269b3d83693a) |
4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
|
5 |
815π2{\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}}![{\ frac 8 {15}} \ pi ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb65b710df4342d918e95c6afd72f7b5d9a3c7a) |
5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
|
6 |
16π3{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}}![{\ frac 16} \ pi ^ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b688a5f63ae0844c2be71fb689866d731fe3d55c) |
5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
|
7 |
16105π3{\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}}![{\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a85913e3b1a712f479341df7a078cd3d1d21d27) |
4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
|
8 |
124π4{\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}}![{\ frac 1 {24}} \ pi ^ {4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306315e863de33ef79d1832d35f37a975ad60570) |
4.05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}
|
Volumet til en slik ball er maksimalt for n = 5. For n > 5 synker volumet når n øker og grensen ved uendelig er null:
limikke→∞Vikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} V_ {n} = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} V_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c8a57beb481e04e391298b857f77825bee8c7c)
.
Den hyperkube omskrevet til enheten hypersphere har kanter av lengde 2, og et volum på 2 n ; forholdet mellom volumene til en ball og den innskrevne hyperkuben (sideveis ) øker som en funksjon av n .
2/ikke{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}![{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d16e6d33dd6a338941721d122d80b1c323fc52)
Område
Det område av hypersphere av dimensjon n -1 og radius R kan bestemmes ved å ta den deriverte med hensyn til radien R av volumet V n :
Sikke-1=dVikkedR=ikkeVikkeR=2πikke2Rikke-1Γ(ikke2){\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}![{\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfc8f4d878d79e558900364be3f68e4fb4fdda5)
.
Sikke=2πikke+12RikkeΓ(ikke+12){\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}![{\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d270d787383cadca26f123604fafadef6f0c2c2)
.
|
n selv |
n rart
|
---|
Sikke{\ displaystyle S_ {n}}![S_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4) |
2ikke2+1πikke2Rikke1⋅3⋯(ikke-1){\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}}![{\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f08bdbf3d9a8adb5fadb000961872865776a043) |
πikke+12Rikke12(ikke-12)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {n- 1} {2}} \ høyre)!}}}
|
---|
Den n- enhetskule har derfor i området:
Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}![{\ mathbb S} ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c00c9d3635f5230e6ac11902a50f2323794ed6)
2πikke+12Γ(ikke+12) .{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}![{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d164f38fb8236e28ab1350fa6a1f892eb2e4e54d)
Følgende tabell gir verdiene til arealet til de første 7 n -sfærene med radius 1:
ikke |
Område Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
|
---|
nøyaktig |
nærmet seg
|
---|
1 |
2π{\ displaystyle 2 \ pi}![2 fot](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06) |
6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
|
2 |
4π{\ displaystyle 4 \ pi}![4 \ ft](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057444bf35a0c22b19bcae1ef06e06ecdf8abe56) |
12.56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
|
3 |
2π2{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2}}![2 \ pi ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb46bf22f0eb39e3a39bba310ba6437e8061754) |
19.73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
|
4 |
83π2{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}}![{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7a1f3cb2f66fd80f6a0085026a19da8a968e67) |
26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
|
5 |
π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}}![\ pi ^ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6b28d4d8e575ad755a4728ecfe26776a30ae04) |
31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
|
6 |
1615π3{\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}}![{\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93d0c3904bf81d744ebe67d6a572fcf957df758) |
33 07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
|
7 |
13π4{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}}![{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b240332219f3532dd17e8abbb5ced0df4139208a) |
32 46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}
|
Arealet til n- enhetssfæren er maksimalt for n = 6. For n > 6 avtar området når n øker og grensen ved uendelig er null:
limikke→∞Sikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfa45d9b87f2d2b2718f15bbd7ffdf69e04c047)
.
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">