Karakteristisk for en ring

I algebra er karakteristikken til en (enhets) ring A per definisjon rekkefølgen for additivloven til det nøytrale elementet i multiplikasjonsloven hvis denne rekkefølgen er endelig; hvis denne rekkefølgen er uendelig, er karakteristikken for ringen per definisjon null .

Vi betegner, for en enhetsring ( A , +, ×), 0 A det nøytrale elementet av "+" og 1 A for "×".

Karakteristikken til en ring A er derfor det minste heltallet n > 0 slik at

 ikke.1PÅ = 1PÅ+1PÅ+⋯+1PÅ⏟ikkevilkår = 0PÅ {\ displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ underbrace {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terms}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}

hvis et slikt heltall eksisterer. Ellers (med andre ord hvis 1 A er av uendelig rekkefølge), er karakteristikken null.

Merk. Denne definisjonen er i samsvar med litteraturen i XXI th  århundre . Bourbaki sier eksplisitt å definere karakteristikken til en ring bare hvis denne ringen inneholder en kropp. Lang anser idealet for Z dannet av n slik at n .1 A = 0; hvis dette idealet er primtall, det vil si av formen a Z der a er null eller et primtall , definerer det karakteristikken til A som tallet a . Det definerer det ikke ellers.

Homomorfismen til Z i A

Det eksisterer en unik morfisme av enhetsringer fra i A ( er faktisk et innledende objekt i kategorien ringer). Per definisjon, hvis n er et strengt positivt heltall, har vi: f{\ displaystyle f}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

f(ikke)=1PÅ+⋯+1PÅ{\ displaystyle f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,},

der 1 A gjentas n ganger. Siden er en euklidisk ring , er kjernen til et hovedideal, og per definisjon er karakteristikken til A den positive generatoren. Mer eksplisitt er det det unike naturlige tallet c slik at kjernen til er det ideelle . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}f{\ displaystyle f} f{\ displaystyle f}vs.Z{\ displaystyle c \ mathbb {Z}}

Egenskaper på ringer

• Det karakteristiske A er den unike heltall c negativ som enten en enhetlig sub-ring A .Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

Dette følger av definisjonen ovenfor og fra faktoriseringsteoremet . Vi trekker spesielt frem:

• Hvis B er en enhetsunderring av A , har A og B samme karakteristikk.
• Ringer med null karakteristikk er de som er en enhetlig underring. De er derfor uendelige.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Dette er tilfelle for feltet med komplekse tall og alle enhetens underringer, for eksempel feltet med reelle tall eller feltet med rasjonelle tall . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Enhver totalt bestilt ring har null karakteristikk.

Faktisk øker homomorfismen . Ethvert strengt positivt heltall sendes til et strengt positivt element i ringen, a fortiori annet enn 0.Z→PÅ{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ til A} Dette er for eksempel tilfellet med (og enhetens underringer). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• Den eneste ringen hvis karakteristikk er lik 1 er nullringen .
• Karakteristikken for en integrert ring er enten null eller primtall.

Faktisk, hvis er en enhetsundring til en integralring, så er den i seg selv integral, derfor er c null eller prim.Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

• For morphism enhet ringer g  : A → B , de karakteristiske B skiller som i A .

Faktisk er homomorfismen til enhetsringer forbindelsen homomorfisme g ∘ f . Hvis p og q er de respektive egenskapene til A og B , er kjernen til g ∘ f derfor , eller g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , slik at den inneholder p , med andre ord q deler s . Z→B{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to B}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}

• Hvis A er en kommutativ ring , og hvis karakteristikken er et primtall p , har vi for alle elementene x, y i A ( x + y ) p = x p + y p . Søknaden til x assosierte x p er en endomorfisme ring kalt Frobenius endomorfisme .

Resultatet følger umiddelbart av Newtons binomiale formel og av det faktum at p deler de binomiale koeffisientene som vises i utvidelsen.

Egenskaper på kropper

Som for enhver integrert ring er karakteristikken for et felt K enten 0 eller et primtall p . Videre, i det andre tilfellet, som for enhver ring med karakteristikk p som ikke er null, inneholder K en kopi som (siden her er p ) er et felt: det er det unike endelige feltet F p med p- elementer. Z/sZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}

• Ethvert felt med nullkarakteristikk inneholder en kopi av .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Faktisk inneholder et slikt felt K allerede (som enhver ring med null karakteristikk) en kopi av . Siden K er et felt, inneholder det derfor feltet for brøkdeler av , nemlig feltet for rasjonelle mennesker. Enhver legeme har derfor et minimalt hjelpeelementet, dets prime legeme , isomorf (i henhold til dens karakteristikk) til et avgrenset felt F p eller til kroppen . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Ethvert endelig felt har for karakteristikk et primtall, og for kardinal en styrke av dette tallet.

Hvis K er et endelig felt, har det, som enhver endelig ring, en karakteristikk som ikke er null. Av ovenstående er dens karakteristikk derfor et primtall p og K inneholder en kopi av feltet F p . Faktisk er K et vektorrom på F p . Så kardinaliteten er p til kraften i dens dimensjon (som derfor nødvendigvis er endelig, med andre ord K er en endelig utvidelse av F p ).

• For ethvert primtall p eksisterer det uendelige felt med karakteristisk p  :

for eksempel feltet for rasjonelle brøker på F p eller den algebraiske lukkingen av F p .

Merknader og referanser

1. For eksempel (i) Joseph Gallian , Contemporary Abstract Albegra , Cengage Learning,2010, 656  s. ( ISBN  978-0-547-16509-7 , leses online ) , s.  252-253.
2. N. Bourbaki, Algebra, kapittel 4 til 7 , Masson ,nitten åtti en, s.  V.2.
3. Serge Lang, Algebra , Dunod ,2004, s.  97.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">