Blanc-krybbe kurve

I matematikk er blancmange-kurven en fraktalkurve som kan konstrueres ved å dele inn definisjonssettet. Det er også kjent som Takagi-kurven , ifølge Teiji Takagi som beskrev i 1901, eller som kurven Takagi- Landsberg (fr) , en generalisering av kurven. Navnet blanc-manger kommer fra likheten med desserten med samme navn . Det er et spesielt tilfelle av De Rham-kurven (en) .

Definisjon

Blancmange-funksjonen er definert på ℝ av: ${\ displaystyle {\ rm {white}} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {s (2 ^ {n} x) \ over 2 ^ {n}}}$ , hvor s er definert av ${\ displaystyle s (y) = \ min _ {n \ in {\ mathbb {Z}}} | yn |}$ , det vil si $s ( y )$ er avstanden mellom $y$ og nærmeste relative heltall .

Den rekke funksjoner som definerer $emne ( x )$ for et hvilket som helst tall $x$ er normalt konvergerende slik at den hvit-krybbe funksjon er kontinuerlig (og 1- periodisk , derfor jevnt sammenhengende ), men det er ikke deriverbar på noe punkt. Den representative kurven er en fraktal (den er tiltrekkeren til et system med itererte funksjoner ).

Takagi - Landsberg-kurven er en generalisering gitt av forholdet: ${\ displaystyle T_ {w} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}$ for en parameter $w$ . Verdien $H = -log 2 ( w )$ , der $log 2$ er den binære logaritmen , kalles “Hurst-parameteren”.

Blancmange-kurven er derfor tilfelle $w = 1/2$ , dvs. $H = 1$ .

Grafisk konstruksjon

Blankmange-kurven kan konstrueres fra sagtannfunksjonene. I illustrasjonene nedenfor blir sagtannfunksjonene (i rødt) gradvis lagt til kurven ved hvert trinn.

n = 0
n ≤ 1
n ≤ 2
n ≤ 3

Primitiv for funksjonen

Siden integralet fra 0 til 1 i den $hvite$ funksjonen er 1/2, er forholdet ${\ displaystyle {\ rm {white}} (x) = {\ rm {white}} (2x) / 2 + s (x)}$ gjør det mulig å beregne antiderivativet jeg annullerer ved 0: ${\ displaystyle I (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ rm {white}} (t) \, {\ rm {d}} t.}$

Beregningen er rekursiv og beregningstiden er i størrelsesorden logaritmen med den nødvendige presisjonen. ${\ displaystyle I (x) = {\ begin {cases} 1/2 + I (x-1) & {\ text {si}} x \ geq 1 \\ 1/2-I (1-x) & { \ text {si}} 1/2 <x <1 \\ I (2x) / 4 + x ^ {2} / 2 & {\ text {si}} 0 \ leq x \ leq 1/2 \\ - I (-x) og {\ text {si}} x <0. \ end {cases}}}$

Brøkdimensjon

Kurven av Takagi-Landsberg Hurst parameter H har Hausdorff dimensjon 2 - H .

Hausdorff-dimensjonen til blancmange-kurven, for hvilken H = 1, er derfor lik 1, til tross for dens fraktalaspekt.

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Blancmange curve " ( se listen over forfattere ) .

(i) John Mills og David Tall (i) , " Fra det visuelle til det logiske ' , Bulletin of the IMA , vol. 24,November / desember 1988, s. 176-183 ( les online ).
(in) Eric W. Weisstein , " Blancmange Function " på MathWorld .
(en) David Tall (en) og Silvia Di Giacomo, " Hva" ser vi "i geometriske bilder? (saken om blancmange-funksjonen) ” , om University of Warwick ,2000, s. 6.
" irem univ reunion, øvelse 8.6 s.20 "
Robert Ferreol, " mathcurve " , på mathcurve.com
Hunt , Sitert i (i) BB Mandelbrot , Gaussisk selvaffinitet og fraktaler: Globality, The Earth, 1 / f Noise, and R / S , Springer,2002, 654 s. ( ISBN 978-0-387-98993-8 , leses online ) , s. ? .

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

Punkt

(en) Teiji Takagi, “ Et enkelt eksempel på kontinuerlig funksjon uten avledet ” , Proc. Fysisk-matematikk. Soc. Jpn. , vol. 1,1901, s. 176–177 ( DOI 10.11429 / subutsuhokoku1901.1.F176 )