Gaussisk krumning

Den Gaussiske krumning , noen ganger også kalt total krumning , av en parameterisert overflate $X$ i $X ( P )$ er produktet av hovedkrumninger . Tilsvarende er den gaussiske krumningen den avgjørende for endomorfismen Weingarten .

I mekanikk er materialoverflatene hvis Gauss-krumning ikke er null, stivere enn de hvis Gauss-krumning er null, alt annet er like. I vanlige uttrykk, skjell er mer rigid enn plater . Faktisk innebærer en deformasjon av et skall en modifisering av dens metriske , noe som ikke er tilfelle ( i første rekkefølge ) for en plate eller mer generelt for en overflate uten Gaussisk krumning.

Klassifisering

Man klassifiserer punktene på en overflate i henhold til den gaussiske krumningen på overflaten på dette punktet.

Et punkt der den gaussiske krumningen er strengt positiv, sies å være elliptisk . Dette er punktene til en ellipsoid , en to-lags hyperboloid eller en elliptisk paraboloid . De to hovedkurver er av samme tegn. Hvis de dessuten er like, er poenget en navle . Dette er punktene i en kule , eller de to hjørnene i en revolusjonellipsoid.
Et punkt der den gaussiske krumningen er null sies å være parabolsk . Minst en av hovedkurver er null der. Dette er tilfelle for punktene i en sylinder eller en kjegle , fordi krumningen langs en generatrise av sylinderen som passerer gjennom punktet er null. Dette er også tilfelle for enhver utviklingsbar overflate . Hvis de to hovedkurver er null, er punktet en flat . I flyet er alle punktene leiligheter.
Et punkt der den gaussiske krumningen er strengt negativ, sies å være hyperbolsk . På et slikt tidspunkt er de to hovedkurver av motsatt tegn. Dette er tilfelle for alle punktene til en ett-arks hyperboloid eller en hyperbol paraboloid .

Beregning av Gaussisk krumning

Beregningen av den gaussiske krumningen kan være vanskelig. Det er forenklet avhengig av metoden som brukes.

Bruke en innstilling

Anta at området er gitt av en ligning $z = f ( x , y )$ , hvor $f$ er en klassefunksjon . La oss betegne variablene som derivatene beregnes med ved å indeksere. Da er den gaussiske krumningen ved parameteren $($ $x$ $,$ $y$ $)$ verdt: ${\ mathcal {C}} ^ {2}$

{\ displaystyle K = {\ frac {f_ {xx} '' f_ {yy} '' - f_ {xy} '' ^ {2}} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y } '^ {2}) ^ {2}}}}

Demonstrasjon

Det vil si parameterisering av overflaten, antatt å være vanlig. En base av tangentplanet er gitt av de to vektorene og . En vektor normal til overflaten er gitt av enhetsvektoren som er kollinær til , nemlig: ${\ displaystyle (x, y) \ to M (x, y, z) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ f (x, y) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_ {x} '\ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_ {y} '\ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} \ wedge {\ frac {\ partial M} {\ partial y}}}$

{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}}}} {\ begin {pmatrix } -f_ {x} '\\ - f_ {y}' \\ 1 \ end {pmatrix}}}

For å beregne krumningen bruker vi det faktum at den er lik determinanten for Weingartens endomorfisme, og at denne endomorfismen er den som sender videre og videre . Vi vil da sjekke at: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial y}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial y}}}$

{\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial x}} = {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} \ left ((f_ {xx} '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} ' f_ {xy} '') {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} + (f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' '- f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '') {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} \ right)}

Vi oppnår et sammenlignbart resultat for ved å permisere indeksene $x$ og $y$ . ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial y}}}$

Weingarten endomorfisme har derfor som en matrise, i basen : ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ partial M} {\ partial x}}, - {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} \ right)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} {\ begin {pmatrix} f_ {xx } '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '& f_ {xy}' '+ f_ {y}' ^ {2} f_ {xy} '' - f_ {y} 'f_ {x}' f_ {yy} '' \\ f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' ' - f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '' & f_ {yy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {yy}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '\ end {pmatrix}}}

Determinanten av denne matrisen, etter forenkling, gir den annonserte formelen.

Bruk av grunnleggende former

La være en overflate som er parametrisert ved hjelp av to parametere $u$ og $v$ , og la $I = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2 være$ den første grunnleggende formen , $II = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2$ den andre grunnleggende formen . Da er den gaussiske krumningen verdt:

{\ displaystyle K = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}

Demonstrasjon

Det vil si en parameterisering av overflaten, antatt å være vanlig. Et grunnlag for tangentplanet er gitt av og . La og være to vektorer av tangentplanet ved et punkt på overflaten, og la X og Y være komponentene i disse to vektorene i forrige base. Den første grunnleggende formen gir uttrykk i denne basen av skalarproduktet til de to vektorene: ${\ displaystyle (u, v) \ til M (u, v)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {du}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {dv}}}$ $\ vec {x}$ ${\ vec {y}}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Den andre grunnleggende formen er den kvadratiske formen som er assosiert med den symmetriske endomorfismen til Weingarten $W$ , hvis to egenverdier er de viktigste krumningene på overflaten på det vurderte punktet.

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y }

Følgelig, hvis er en egenvektor av Weingartens endomorfisme, med egenverdi $λ$ , har vi for alle : ${\ vec {y}}$ $\ vec {x}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = \ lambda {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Dette forholdet er sant for alt , og vi har derfor: $\ vec {x}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

og derfor er matrisen ikke-inverterbar, siden den innrømmer kolonnen $Y$ som ikke er null som et element i kjernen. Dens determinant gir ligningen verifisert av de viktigste krumningene, nemlig: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} - \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} L- \ lambda E&M - \ lambda F \\ M- \ lambda F & N- \ lambda G \ end {pmatrix}}}$

{\ displaystyle (EG-F ^ {2}) \ lambda ^ {2} - (EN + GL-2MF) \ lambda + LN-M ^ {2} = 0}

Vi får produktet av de to røttene som er ingen ringere enn ønsket gaussisk krumning. ${\ displaystyle {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$

Beregning av egen krumning

De forrige formlene bruker det faktum at overflaten er inkludert i dimensjonens rom 3. Den Gaussiske krumningen er imidlertid en iboende egenskap for overflaten, og avhenger bare av overflatens lokale beregning (med andre ord på den første grunnleggende formen ). Dette resultatet er kjent under navnet Theorema egregium , og er for eksempel illustrert av Gauss-Bonnet-formelen . Det er derfor mulig å bestemme krumningen bare ut fra lokal beregning, og dermed åpne for en mer generell beregning av krumning på Riemann-manifoldene .

Riemann normale koordinater

Vi bruker kartesiske koordinater der vi er på jorden. Andre steder må vi bruke koordinater som er rotert som en funksjon av bredde og lengdegrad. Dette er grunnen til at Riemanns kontaktdetaljer blir referert til som lokale. Riemann-koordinater er praktisk talt kartesiske koordinater i planet som er tangent til jorden og mer generelt til en buet overflate eller et rom.

I Gauss-koordinatene (brukes tradisjonelt $μ$ og $ν i$ stedet for $x$ og $y$ ), skrives beregningen:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

For å bytte til Riemann-koordinater, må vi diagonalisere den representative matrisen til metrikken og deretter endre skalaene til koordinataksene for å oppnå en euklidisk måling:

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \,

Den Gaussiske krumningen er produktet av de viktigste krumningene $k x$ og $k y,$ og krumningen til en plan kurve er det andre derivatet av ordinaten $z$ med hensyn til abscissen $x$ eller $y$ , vi har:

K = k _ {{x}} k _ {{y}} = {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z } {\ partial y ^ {2}}}

Gaussisk krumning i Riemann-koordinater

Betrakt en overflate ved et punkt $O$ , koordinater opprinnelse, og tangentplanet til overflaten $O$ . Aksene er valgt slik at $Oz$ er vinkelrett på tangentplanet, og aksene $Ox$ og $Oy$ i tangensplanet sammenfaller med overflatens hovedretninger . I nabolaget $O$ er $x-$ og $y-$ koordinatene i tangentplanet veldig nær Gauss-koordinatene $u$ og $v$ på den buede overflaten, slik at vi bare bruker de kartesiske koordinatene $x$ og $y$ i tangentplanet og $z$ , dimensjon sammenlignet til tangensplanet. Tenk på en buet overflate med ligning $z = z ( x , y )$ og anta at den lokale beregningen er skrevet:

{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = g_ {xx} \, \ mathrm {d} x ^ {2} + g_ {yy} \ mathrm {d} y ^ {2}}

Deretter uttrykkes den gaussiske krumningen som en funksjon av det andre derivatet av koeffisientene til denne beregningen i form:

{\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g_ {xx}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ delvis ^ {2} g_ {åå}} {\ delvis x ^ {2}}} \ høyre) = - {\ frac {1} {2}} \ venstre (g_ {xx, åå} + g_ {åå, xx } \ Ikke sant)}

der kommaet indikerer en delvis avledning, som gjør det mulig å gjøre ligningene mer lesbare. Den gaussiske krumningen, som for dimensjon har det inverse av kvadratet av en lengde, blir veldig enkel i normale Riemann-koordinater, ved å tilnærme overflaten med en paraboloid hvis symmetriakser sammenfaller med hovedretningene til metrikken. Den er da lik overflaten Riemann-tensor $R xyxy$ .

Demonstrasjon

Differensialen til funksjonen $z$ er:

{\ displaystyle dz = {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} dy}

Metrikken til det tredimensjonale euklidiske rommet er

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \ + {\ mathrm d} z ^ {2} \,

Ved å erstatte $d z$ med uttrykket ovenfor blir beregningen

{\ mathrm d} s ^ {2} = \ left [1+ \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right) ^ {2} \ right] \, {\ mathrm d} x ^ {2} +2 {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left [1+ \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

Den generiske formelen for beregningen av en overflate er:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

der koeffisientene $g ij$ til metrikken er dimensjonsløse tall. I dette tilfellet er $g xy = 0$ . Vi beregner de andre derivatene av henholdsvis $g xx$ og $g yy$ med hensyn til $y$ og $x$ :

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ delvis x \ delvis y}} \ høyre) ^ {2} + {\ frac {\ delvis z} {\ delvis x}} {\ frac {\ delvis ^ {3} z} {\ delvis x \ delvis y ^ {2}}}

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ delvis x ^ {2}}} \ venstre ({\ frac {\ delvis z} {\ delvis y}} \ høyre) ^ {2} = \ venstre ({\ frac {\ delvis ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial y \ partial x ^ {2}}}

La oss oppsummere disse to ligningene:

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} + \ venstre [{\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial x \ partial y ^ {2}}} + \ left ({\ frac {\ delvis ^ {2} z} {\ delvis x \ delvis y}} \ høyre) ^ {2} + {\ frac {\ delvis z} {\ delvis y}} {\ frac {\ delvis ^ {3} z} {\ delvis y \ delvis x ^ {2}}} \ høyre]

La oss nå skille mellom $g xy = 0$ , siden beregningen er diagonal etter antagelse:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {xy}} {\ partial x \ partial y}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} { \ partial x \ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ høyre) = 0}

som gir ligningen:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial y ^ {2}}} = - \ venstre [\ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial y ^ {2} \ partial x}} + {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial x ^ {2} \ partial y}} \ right]}

Høyre side av dette uttrykket, i parentes, identisk med forrige parentesbegrep, kan derfor erstattes. Fra hvor

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} - { \ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial y ^ {2}}}

I denne formelen er det bare andre derivater av koeffisientene til metriske og $z$ med hensyn til $x$ og $y$ , i samsvar med antakelsen om Riemann-koordinater. La oss tilnærming, på det vurderte punktet, overflaten av en paraboloid av hovedkurver $k x$ og $k y,$ hvis hovedplan sammenfaller med de av den buede overflaten:

z = {\ frac 12} \ left (k _ {{x}} x ^ {2} + k _ {{y}} y ^ {2} \ right)

Siden det ikke er noe rektangeluttrykk i dette uttrykket, har vi det

{\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} = 0

Koeffisientene $k x$ og $k y$ er de andre derivatene av $z$ med hensyn til $x$ og $y,$ og derfor er krumningene til parabolene, skjæringspunktet mellom paraboloid og dets hovedplan. Siden produktet $K = k x k {ind$

av de viktigste krumningene er per definisjon den gaussiske krumningen, vi kan skrive:

{\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial y ^ {2}}} = k_ {x} k_ {y} = K

Ved å bruke de to foregående forholdene oppnår man krumningen til Gauss i koordinatene til Riemann:

K = - {\ frac 12} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} \ right) = - {\ frac 12} \ left (g _ {{xx, yy}} + g _ {{yy, xx}} \ Ikke sant)

Gaussisk krumning i Gauss-koordinater

Når beregningen er komplisert, vil vi nøye oss med å gi noen praktiske formler. Den første tilsvarer en diagonal beregning : ${\ displaystyle g_ {uu} \, \ mathrm {d} u ^ {2} + g_ {vv} \ mathrm {d} v ^ {2}}$

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {g_ {uu} g_ {vv}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {uu, vv} + g_ {vv, uu} \ høyre) + {\ frac {g_ {uu, v} ^ {2}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, u} ^ {2}} {4g_ {vv}} } + {\ frac {g_ {uu, u} g_ {vv, u}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, v} g_ {uu, v}} {4g_ {vv}} } \ Ikke sant]}

Leibniz notasjon er erstattet av komma som indikerer delvis avledning. Vi gjenkjenner de to første begrepene som er identiske med uttrykkene i Riemann-koordinatene, bortsett fra multiplikasjonskoeffisienten $g uu g vv$ , forskjellig fra 1 i Gauss-koordinatene.

Den $u$ og $v$ er Gauss koordinater, tilsvarende for eksempel i tilfelle av kulen til den sfæriske koordinater $θ$ og $φ$ .

Den Brioschi formel gir krumning og Riemann-tensoren $R uvuv$ i matriseform for en diagonal metrisk:

K = {\ frac {R _ {{uvuv}}} {g _ {{uu}} g _ {{vv}}}} = {\ frac {1} {g _ {{uu}} g _ {{ vv}}}} {\ begin {vmatrix} - {\ frac {g _ {{uu, vv}} + g _ {{vv, uu}}} {2}} + {\ frac {g _ {{uu , v}} ^ {2}} {4g _ {{uu}}}} + {\ frac {g _ {{vv, u}} ^ {2}} {4g _ {{vv}}}} og { \ frac {g _ {{uu, u}}} {2g _ {{uu}}}} og - {\ frac {g _ {{uu, v}}} {2g _ {{vv}}}}} \\ - {\ frac 12} g _ {{vv, u}} & 1 & \\ {\ frac 12} g _ {{vv, v}} && 1 \ end {vmatrix}}

eller ikke diagonalt:

K = {\ frac 1 {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ venstre [{\ begin {vmatrix} - {\ frac 12} E _ {{vv}} + F _ {{uv }} - {\ frac 12} G _ {{uu}} & {\ frac 12} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac 12} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac 12} G_ {u} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac 12} E_ {v} & {\ frac 12} G_ {u} \\ {\ frac 12} E_ {v} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right]

hvor $E = g uu , G = g vv , F = g uv$ (Gauss notasjon). Indeksene representerer et enkelt eller dobbelt delvis derivat med hensyn til Gauss-koordinatene $u$ og $v$ , tilsvarende de forrige $x$ og $y$ .

Påføring på sfæren

Gaussisk krumning av sfæren i Riemann-koordinatene

Ligningen til en sfære med radius $R$ i kartesiske koordinater i tredimensjonalt euklidisk rom er

x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}

For at konkaviteten skal være positiv, må vi ta den negative roten til $z$ :

z (x, y) = - {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}}

La oss utvikle den i serie på Sydpolen, i nærheten av $x = y = 0$ , det vil si i Riemann-koordinatene:

z (x, y) = - R + {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2R}}

Derfor ved differensiering:

{\ mathrm d} z ^ {2} = \ left ({\ frac {x \, {\ mathrm d} x + y \, {\ mathrm d} y} {R}} \ right) ^ {2} = {\ frac {x ^ {2} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2xy \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + y ^ {2} \, {\ mathrm d} y ^ {2}} {R ^ {2}}}

Metrikken til tredimensjonalt euklidisk rom

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \, {\ mathrm d} y ^ {2} \ + \, {\ mathrm d} z ^ { 2}

blir den til en paraboloid av revolusjon som nærmer seg sfæren:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \, {\ mathrm d} x ^ {2 } +2 {\ frac {xy} {R ^ {2}}} \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left (1 + {\ frac {y ^ {2}} { R ^ {2}}} \ høyre) \, {\ mathrm d} y ^ {2}

Nærmere sørpolen, der $x \approx y \approx 0$ , er beregningen euklidisk ved å eliminere andre ordens termer. For å sette det i Riemann-koordinater er det nødvendig å diagonalisere det. Det er lettere å bruke sfæriske koordinater som gir en diagonal beregning. For å være i Riemann-koordinater diagonaliserer vi beregningen, som blir:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \ left [1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

hvor $K = k x k y$ er den gaussiske krumningen. Vi finner den euklidiske metriske i $O$ der $x$ og $y$ er null. I dette uttrykket har vi $g xx = 1, g xy = 0$ og

g _ {{yy}} = 1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}}

K = - {\ frac 12} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} \ right) = - {\ frac 12} \ left (0 - {\ frac {2} {R ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {R ^ {2}}}

Vi finner den gaussiske krumningen i sfæren, lik Riemann-tensoren $R uvuv,$ men bare i Riemann-koordinatene.

Gaussisk krumning av sfæren i Gauss-koordinater

Vurdere en liten elementær rektangel på kule med radius $R$ . La $θ være$ den colatitude og $fy$ lengdegrad. Dens diagonale ds er i kraft av den pythagoreiske teoremet:

{\ mathrm d} s ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

Sfærens beregning er diagonal uten et rektangeluttrykk:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{\ theta \ theta}} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + g _ {{\ phi \ phi}} \, { \ mathrm d} \ phi ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

Den generelle formelen for den Gaussiske krumningen i Gauss koordinerer for en diagonal beregning:

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {g _ {\ theta \ theta} g _ {\ phi \ phi}}} venstre [- {\ frac {1} {2}} \ venstre (g _ { \ theta \ theta, \ phi \ phi} + g _ {\ phi \ phi, \ theta \ theta} \ right) + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ phi} ^ {2}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ theta} ^ {2}} {4g _ {\ phi \ phi}}} + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ theta} g_ {\ phi \ phi, \ theta}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ phi} g _ {\ theta \ theta, \ phi}} {4g _ {\ phi \ phi}}} høyre]}

er forenklet på sfæren ved å eliminere nullbetingelsene:

K = {\ frac {1} {g _ {{\ theta \ theta}} g _ {{\ phi \ phi}}} \ left [- {\ frac 12} \ left (0 + g _ {{\ phi \ phi, \ theta \ theta}} høyre) +0 + {\ frac {g _ {{\ phi \ phi _ {,} \ theta}} ^ {2}} {4g _ {{\ phi \ phi }}}} + 0 + 0 \ right]

deretter, ved å forklare koeffisientene til beregningen:

K = {\ frac {1} {R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [- {\ frac 12} \ times 2R ^ {2} (\ sin \ theta \ cos \ theta) _ {{, \ theta}} + {\ frac {4R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {4R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} } \ Ikke sant]

og til slutt i:

K = {\ frac {1} {R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [- \ left (\ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta \ right ) + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right] = {\ frac {1} {R ^ {2} }}

Kulens Riemann-tensor er

{\ displaystyle R _ {\ theta \ phi \ theta \ phi} = R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

Referanser

J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, matematikkurs, t. 3, geometri og kinematikk , 2 nd ed., DUNOD University (1977), s. 493, 509
(in) DJ Struik, Lectures on Classical Differential Geometry , Dover, 1988.
Bernard Schaeffer, Relativiteter og kvantum avklart , Publibook, 2007.
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, matematikkurs, t. 3, geometri og kinematikk , 2 nd ed., DUNOD University (1977), s. 511 .
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, matematikk selvfølgelig t.3, geometri og kinematikk , 2 nd ed., DUNOD University (1977), s. 509.
(in) Kevin Brown, Reflections on Relativity , § 5.7: Riemannian Geometry .
(i) Erwin Kreyszig , differensialgeometri , Dover, 1991.
Michèle Audin , Geometry , EDP Sciences ,2006, 3 e ed. , 428 s. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , les online ).

Se også