I matematikk er en affin tilnærming en tilnærming til en funksjon i nærheten av et punkt som bruker en affin funksjon . En affin tilnærming brukes hovedsakelig for å forenkle et problem som en tilnærmet løsning kan oppnås for.
To klassiske måter å oppnå en affin tilnærming av en funksjon innebærer interpolasjon eller utvidelse begrenset til ordre 1.
Gitt en funksjon f definert og kontinuerlig over et intervall [ a , b ] og som vi kjenner verdien til grensene for, kan vi nærme oss kurven til funksjonen ved hjelp av ligningens streng
.Hvis funksjonen er av klasse C 2 , blir forskjellen mellom verdien av funksjonen og den affine tilnærmingen ved interpolasjon styrt av en øvre grense av absoluttverdien til det andre derivatet: hvis da for alle x ∈ [ a , b ] we ha
.Denne formuleringen så vel som ulikheten er fortsatt gyldig utenfor intervallet [ a , b ] , så lenge økningen av det andre derivatet også er gyldig . Ved å overføre grensen fra b til a , får vi affinitilnærmingen ved begrenset ekspansjon nedenfor.
Affininterpolasjon brukes spesielt til å definere den trapesformede metoden i numerisk integrasjon .
Gitt en differensierbar funksjon f av en reell variabel , og en reell a , funksjonen ε definert av
sjekket
ε kalles resten . Denne formelen vises som et spesielt tilfelle ( n = 1) av Taylors formel : det er en begrenset utvidelse av ordre 1.
En affinimativ tilnærming av f oppnås ved å forsømme denne resten. Funksjonen utgjør da en affin tilnærming av f at a .
Vi deretter skrive, for x i et nabolag i en :
Uttrykket til høyre tilsvarer ligningen y ' = f ( a ) + f' ( a ) ( x - a ) av tangenten til kurven som er representativ for f ved punktet ( a , f ( a )) , og for Av denne grunn, noen kaller denne metoden for tangens tilnærming eller affin tangent tilnærming .
Det er også mulig å bruke tilnærminger for vektorfunksjonene til en vektorvariabel, der f ' ( a ) erstattes av en jakobisk matrise . Tilnærmingen tilsvarer ligningen til en rett tangens , eller et tangensielt plan eller en hyperplan- tangens. Dette gjelder også funksjoner til en kompleks variabel .
I det mer generelle tilfellet med Banach-mellomrom , kan vi skrive
hvor D f ( a ) er differensialen av f ved a . Her er det lineære kartet ingen ringere enn D f ( a ) .
Den tangente affine tilnærmingen brukes spesielt i Newtons metode for å nærme seg nullene til en differensierbar funksjon.
EksempelFor å finne en omtrentlig verdi på 3 √ 25 , kan vi gå frem som følger:
Gaussisk optikk er en geometrisk optisk teknikk som beskriver atferden til lysstråler i optiske systemer ved paraksial tilnærming , der vinklene mellom strålene og den optiske aksen er veldig små. I dette tilfellet kan uttrykkene avhengig av vinklene, uttrykt ved trigonometriske funksjoner, tilnærmes lineært. Korrekte tilnærminger av brennvidde, forstørrelse og lysstyrke kan dermed oppnås.
Perioden for svinging av et tungt pendel avhenger av lengden, tyngdekraften og svingningens amplitude θ 0 , men ikke av massen. Perioden T for en enkel pendel, i det ideelle tilfellet, uttrykkes i sin eksakte form av en uendelig serie:
med L lengden og g den lokale akselerasjonen av tyngdekraften.
Men i tilfelle av små svingninger, for eksempel synd q ≈ q , vurderer dette lineær tilnærming gjør det mulig å oppnå:
og i denne formen avhenger det ikke lenger av amplituden. Denne egenskapen til isokronisme er grunnlaget for varighetsmålinger.