Andre grunnleggende form

I differensialgeometri er den andre grunnleggende formen , bemerket II , en kvadratisk form på det tangente rommet til overflaten til en Riemannian manifold .

Tilfelle av en overflate i ℝ 3

La være en overflate som er parameterisert av X ( u , v ). Ved et gitt punkt P blir tangensplanet (når det er definert) generert av tangensvektorene og betegnet henholdsvis Xu og Xv . Den normalvektor defineres som enhetsvektoren n kolineære med X u ∧ X v . I referansen (P, X u , X v , n ), hvis overflaten er lokalt glatt, kan man lage en begrenset utvikling av Σ i form ${\ displaystyle {\ frac {\ partial X} {\ partial u}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial X} {\ partial v}}}$

{\ displaystyle z = \ mathrm {L} {\ frac {x ^ {2}} {2}} + \ mathrm {M} xy + \ mathrm {N} {\ frac {y ^ {2}} {2} } + \ varepsilon}

og definere kvadratisk form

{\ displaystyle {\ mathsf {II}} = L \ mathrm {d} x ^ {2} + 2M \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y + N \ mathrm {d} y ^ {2}}

med

{\ displaystyle \ mathrm {L} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathrm {X}} {\ partial u ^ {2}}} \ cdot \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ mathrm {M} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathrm {X}} {\ partial u \ partial v}} \ cdot \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ mathrm {N} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathrm {X}} {\ partial v ^ {2}}} \ cdot \ mathbf {n}}

Denne kvadratiske formen II kalles den andre grunnleggende formen . Den kan også representeres av matrisen

{\ displaystyle \ mathrm {II} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {L} & \ mathrm {M} \\\ mathrm {M} & \ mathrm {N} \ end {pmatrix}}}

Tangensvektorene (X u , X v ) utgjør en basis for vektorplanet som tangerer Σ i P; hvilken som helst tangentvektor kan skrives som en lineær kombinasjon av X u og X v . Den andre grunnleggende formen på to vektorer w 1 = a X u + b X v og w 2 = c X u + d X v er skrevet

II ( w 1 , w 2 ) = L ac + M ( ad + bc ) + N bd

og for en enkelt vektor

II ( w 1 , w 1 ) = L a 2 + 2 M ab + N b 2

Den andre grunnleggende formen uttrykkes også fra S- form-operatøren og punktproduktet :

II ( w 1 , w 2 ) = S ( w 1 ) ⋅ w 2 .

Den gaussiske krumningen K kan beregnes ut fra den første og andre grunnleggende formen:

{\ displaystyle \ mathrm {K} = {\ frac {\ det \ mathrm {II}} {\ det \ mathrm {I}}} = {\ frac {\ mathrm {L} \ mathrm {N} - \ mathrm { M} ^ {2}} {\ mathrm {E} \ mathrm {G} - \ mathrm {F} ^ {2}}}}

De viktigste kurvaturene er egenverdiene til den symmetriske matrisen

{\ displaystyle \ mathrm {II} _ {uv} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {II} (\ mathrm {X} _ {u}, \ mathrm {X} _ {u}) & \ mathrm {II } (\ mathrm {X} _ {u}, \ mathrm {X} _ {v}) \\\ mathrm {II} (\ mathrm {X} _ {v}, \ mathrm {X} _ {u}) & \ mathrm {II} (\ mathrm {X} _ {v}, \ mathrm {X} _ {v}) \ end {pmatrix}}}

Tilfelle av en overflate

Vi betrakter en overflate av en Riemannian manifold , begge orientert . Vi kan vurdere felt av enhetsnormale vektorer n assosiert med overflaten (det er generaliseringen av Gauss-kartet ) til disse to variantene. Det er også en forestilling om derivasjon ( kovariantderivat ) av vektorene som er naturlig assosiert med metrikken til den omgivende manifolden: det er den nevnte Levi-Civita-forbindelsen . $\ nabla$

For to vektorer v og w som berører overflaten, setter vi

{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, w) = \ langle n, \ nabla _ {V} W \ rangle}

ved å betegne V og W vektorfelt som strekker seg v og w . Det kontrolleres at det oppnådde uttrykket ikke er avhengig av den utførte forlengelsen. Tegnet på den andre grunnleggende formen avhenger av valget av retningen til n (ko-orientering av overflaten).

Generell definisjon

Vi kan generalisere begrepet andre grunnleggende form til rom med vilkårlig kodimensjon . I dette tilfellet er det en kvadratisk form på tangentrom , med verdier i den normale bunten :

{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, w) = (\ nabla _ {v} w) ^ {\ bot},}

med den ortogonale projeksjonen av det covariante derivatet på den normale bunten. ${\ displaystyle (\ nabla _ {v} w) ^ {\ bot}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {vb} w}$

Kobling med krumning

I euklidiske rom kan krumningstensoren til et undermanifold beskrives av Gauss-ligningen:

{\ displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (u, z), \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} ( v, w) \ rangle - \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (u, w), \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, z) \ rangle.}

For enhver Riemannian-manifold , må vi legge til krumningen i det omgivende rommet. Hvis N er et område som inngår i en Riemannian manifold ( M, g ), kan krumningstensoren til N med indusert metrisk uttrykkes fra den andre grunnleggende formen og krumningstensoren til M : ${\ displaystyle R_ {N}}$ ${\ displaystyle R_ {M}}$

{\ displaystyle \ langle R_ {N} (u, v) w, z \ rangle = \ langle R_ {M} (u, v) w, z \ rangle + \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I } (u, z), \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (v, w) \ rangle - \ langle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (u, w), \ mathrm { I} \! \ Mathrm {I} (v, z) \ rangle.}

Utvidelse til nedsenking

Den første og andre grunnleggende formen er introdusert i studien av submanifolds, forsynt med den induserte metriske. Vi kan generalisere disse forestillingene til enhver nedsenking av en Riemannian-manifold i en annen, med a priori to metriske tensorer som skal tas i betraktning, på kildefordeleren og målet. Ved å plassere oss på et injeksjonsdomene på $Φ$ , kan vi transportere vektorfeltene til $M$ med direkte bilde (og utvide dem om nødvendig). Vi viser da at følgende uttrykk har en betydning, og gir, på hvert punkt, en bilinær form på tangensrommet til $M$ med verdier i tangensrommet til $N$

{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} (X, Y) = \ nabla _ {\ phi _ {\ ast} X} ^ {h} (\ phi _ {\ ast} Y) - \ phi _ {\ ast} (\ nabla _ {X} ^ {g} Y)}

Helt geodetiske applikasjoner (det vil si de som bildet for en hvilken som helst geodetisk er en geodetisk) kan sees på en naturlig måte som de som den andre grunnleggende formen konstant er null på.

Søknadene der spor av den andre grunnleggende formen er null, kalles harmoniske .

Spesielt i tilfelle der kartet er en isometrisk nedsenking av $M$ i $N$ (som inkluderer tilfellet med kanonisk injeksjon for Riemanniske underretter av $N$ ), faller begrepet harmonisk kart sammen med det faktum at $Φ (M)$ er et minimalt utvalg i $N$ ).

Se også

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Second fundamental form " ( se listen over forfattere ) .

(in) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin og Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ publiseringsdetaljer ], s. 185
Aubin, Thierry. Noen ikke-lineære problemer i Riemannian geometri. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1998. xviii + 395 s. ( ISBN 3-540-60752-8 ) , s. 349
(in) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detalj av utgaver ], s. 394